实变函数竞赛试题及答案

实变函数竞赛试题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1.设E是可测集，m*(E)表示E的外测度，若m*(E)=0，则下列结论正确的是：A.E是空集B.E的任何子集都是可测的C.E的任何子集的外测度都为0D.E一定是有限集2.关于Lebesgue可测集的性质，下列说法错误的是：A.可测集的并集仍是可测的B.可测集的交集仍是可测的C.可测集的补集一定是可测的D.任何集合都是Lebesgue可测的3.设f(x)是[a,b]上的可积函数，则下列函数在[a,b]上一定可积的是：A.|f(x)|B.f(x)^2C.1/f(x)（f(x)在[a,b]上不恒为0）D.sin(f(x))4.Lebesgue积分与Riemann积分的主要区别在于：A.Lebesgue积分只适用于连续函数B.Riemann积分适用于更广泛的函数类C.Lebesgue积分基于函数值的“大小”进行划分D.Riemann积分基于定义域的“划分”进行求和5.设{f_n(x)}是[a,b]上的可积函数列，且f_n(x)一致收敛于f(x)，则下列结论正确的是：A.f(x)一定在[a,b]上可积B.f(x)一定在[a,b]上连续C.∫[a,b]f_n(x)dx一定收敛于∫[a,b]f(x)dxD.以上都不对6.下列关于单调函数的性质，错误的是：A.单调函数至多有可数个不连续点B.单调函数一定是可测的C.单调函数的变差函数是单调的D.单调函数一定是连续的7.设E是R^n中的可测集，m(E)表示E的Lebesgue测度，若m(E)<∞，且f(x)在E上可积，则对于任意ε>0，存在：A.连续函数g(x)，使得∫_E|f(x)-g(x)|dx<εB.有界函数g(x)，使得∫_E|f(x)-g(x)|dx<εC.简单函数g(x)，使得∫_E|f(x)-g(x)|dx<εD.阶梯函数g(x)，使得∫_E|f(x)-g(x)|dx<ε8.下列函数在[0,1]上Lebesgue可积但Riemann不可积的是：A.f(x)=xB.f(x)=1/x（x≠0），f(0)=0C.f(x)=D(x)（Dirichlet函数）D.f(x)=x^29.设f(x)是[a,b]上的非负可测函数，且∫[a,b]f(x)dx=0，则：A.f(x)在[a,b]上恒等于0B.f(x)在[a,b]上几乎处处等于0C.f(x)在[a,b]上至多有一个点不为0D.f(x)在[a,b]上连续10.关于Fubini定理，下列说法正确的是：A.适用于所有二元函数B.要求函数在积分区域内绝对可积C.可以交换积分顺序而不影响积分值D.只适用于连续函数二、多项选择题（每题2分，共40分）11.下列哪些集合是Lebesgue可测的？A.开集B.闭集C.零测集D.任何集合12.关于Lebesgue积分的性质，下列说法正确的有：A.线性性B.单调性C.可加性（对于不交的可测集）D.绝对连续性13.设f(x)是[a,b]上的可积函数，则下列哪些函数在[a,b]上也可积？A.f(x)+C（C为常数）B.Cf(x)（C为常数）C.f(x)^n（n为正整数）D.e^f(x)14.下列哪些条件可以保证函数列{f_n(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)？A.∑|f_{n+1}(x)-f_n(x)|在[a,b]上收敛B.{f_n(x)}单调且一致有界C.对于任意ε>0，存在N，使得当n>N时，|f_n(x)-f(x)|<ε对所有x∈[a,b]成立D.{f_n(x)}逐点收敛于f(x)，且f(x)连续15.下列哪些函数属于L^p空间（1≤p<∞）？A.有界函数B.在有限区间上可积的函数C.在无限区间上绝对可积的函数D.任何连续函数16.关于L^p空间（1≤p<∞）的性质，下列说法正确的有：A.L^p空间是完备的B.L^p空间中的函数可以相差一个零测集C.当p=1时，L^1空间中的函数都是可积的D.当p=∞时，L^∞空间包含所有有界函数17.下列哪些变换保持Lebesgue可积性？A.平移变换B.伸缩变换C.线性变换D.任何可微变换18.关于Lebesgue点，下列说法正确的有：A.几乎处处点都是Lebesgue点B.Lebesgue点处的函数值等于该点的极限值C.对于L^1函数，Lebesgue点处的平均值趋近于函数值D.Lebesgue点的存在性与函数的可积性无关19.下列哪些结论对于可测函数成立？A.可测函数可以表示为简单函数的极限B.可测函数的复合函数（外函数可测，内函数连续）仍是可测的C.可测函数的乘积仍是可测的D.可测函数的和一定是可测的20.关于Lebesgue积分的控制收敛定理，下列说法正确的有：A.要求被积函数列一致有界B.要求被积函数列逐点收敛C.要求存在一个可积函数控制被积函数列D.可以推出积分与极限可交换三、判断题（每题1分，共10分）21.任何有界集合都是Lebesgue可测的。（）22.Lebesgue积分是Riemann积分的推广。（）23.可测函数一定是连续的。（）24.若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|也在[a,b]上可积。（）25.Lebesgue可测集的并集一定是可测的。（）26.单调函数一定是可测的。（）27.对于L^p空间中的函数，p越大，空间包含的函数越“少”。（）28.Fubini定理适用于所有二元函数的积分。（）29.Lebesgue积分可以处理Riemann积分无法处理的某些不连续函数。（）30.控制收敛定理要求被积函数列一致收敛。（）四、填空题（每题1分，共10分）31.Lebesgue外测度的定义是基于对集合的______进行覆盖和求和。32.若E是可测集，且m(E)=0，则称E为______。33.Lebesgue积分的核心思想是基于函数值的“______”进行划分和求和。34.对于可积函数f(x)，其积分∫f(x)dx表示的是f(x)下的______。35.若函数列{f_n(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)，且每个f_n(x)可积，则f(x)在[a,b]上______。36.L^p空间中的范数定义为‖f‖_p=(∫|f(x)|^pdx)^{1/p}，当p=∞时，‖f‖_∞表示f(x)的______。37.Fubini定理允许在满足一定条件下交换______的顺序。38.Lebesgue点处的函数平均值趋近于该点的______。39.若f(x)是[a,b]上的可测函数，且存在可积函数g(x)使得|f(x)|≤g(x)几乎处处成立，则f(x)在[a,b]上______。40.控制收敛定理中，控制函数的作用是保证积分与______的可交换性。答案：一、单项选择题1.B2.D3.A4.C5.C6.D7.C8.C9.B10.C二、多项选择题11.ABC12.ABC13.ABC14.AC15.ABC16.ABC17.ABC18.AC19.ABCD20.BCD三、判断题21.错（反例：Vitali集