人教版高中数学选择性必修第二册第四章随机变量及其分布试卷及答案

人教版高中数学选择性必修第二册第四章随机变量及其分布试卷及答案

一、单项选择题1.设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{5},k=1,2,3,4,5\)，则\(E(X)\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：C2.已知随机变量\(X\)服从二项分布\(X\simB(n,p)\)，若\(E(X)=30\)，\(D(X)=20\)，则\(p=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A3.已知随机变量\(\xi\)的分布列为\(P(\xi=k)=\frac{a}{2^{k}},k=1,2,3\)，则\(P(\xi\geq2)\)等于（）A.\(\frac{1}{7}\)B.\(\frac{2}{7}\)C.\(\frac{3}{7}\)D.\(\frac{4}{7}\)答案：C4.设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=i)=\frac{i}{10},i=1,2,3,4\)，则\(P(\frac{1}{2}\ltX\lt\frac{5}{2})\)等于（）A.\(\frac{1}{10}\)B.\(\frac{1}{5}\)C.\(\frac{3}{10}\)D.\(\frac{2}{5}\)答案：C5.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(2,\sigma^{2})\)，若\(P(X\lta)=0.32\)，则\(P(a\leqX\leq4-a)\)等于（）A.\(0.32\)B.\(0.68\)C.\(0.36\)D.\(0.64\)答案：C6.袋中有\(3\)个白球、\(5\)个黑球，从中任取\(2\)个，可以作为随机变量的是（）A.至少取到\(1\)个白球B.至多取到\(1\)个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数答案：C7.设随机变量\(X\)满足\(P(X=c)=1\)，其中\(c\)为常数，则\(D(X)\)等于（）A.\(0\)B.\(c\)C.\(1\)D.不确定答案：A8.已知随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{2^{k}},k=1,2,\cdots\)，则\(P(2\leqX\leq4)\)等于（）A.\(\frac{3}{16}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{16}\)D.\(\frac{5}{16}\)答案：A9.若随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，则\(P(\mu-\sigma\lt\xi\lt\mu+\sigma)=0.6826\)，\(P(\mu-2\sigma\lt\xi\lt\mu+2\sigma)=0.9544\)。已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布\(N(0,3^{2})\)，从中随机取一件，其长度误差落在区间\((3,6)\)内的概率为（）A.\(0.0456\)B.\(0.1359\)C.\(0.2718\)D.\(0.3174\)答案：B10.设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{n},k=1,2,\cdots,n\)，若\(P(X\lt4)=0.3\)，则\(n=\)（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(10\)D.不能确定答案：C二、多项选择题1.下列关于随机变量的说法正确的是（）A.随机变量是随机试验结果的数量化表示B.离散型随机变量的取值可以一一列出C.连续型随机变量的取值是连续不断的D.随机变量的取值一定是实数答案：ABCD2.已知随机变量\(X\)服从二项分布\(X\simB(n,p)\)，则下列说法正确的是（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)D.当\(p=\frac{1}{2}\)时，二项分布是对称的答案：ABCD3.设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{5},k=1,2,3,4,5\)，则（）A.\(E(X)=3\)B.\(D(X)=2\)C.\(P(X\geq3)=\frac{3}{5}\)D.\(P(1\ltX\lt4)=\frac{2}{5}\)答案：AC4.若随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，则下列说法正确的是（）A.正态曲线关于直线\(x=\mu\)对称B.\(P(\xi\lt\mu)=\frac{1}{2}\)C.当\(\sigma\)一定时，正态曲线的位置由\(\mu\)确定，且随着\(\mu\)的变化而沿\(x\)轴平移D.当\(\mu\)一定时，正态曲线的形状由\(\sigma\)确定，\(\sigma\)越小，曲线越“矮胖”答案：ABC5.下列是离散型随机变量的是（）A.某座大桥一天经过的车辆数\(X\)B.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差\(\xi\)C.江西九江市长江水位监测站所测水位在\((0,29]\)这一范围内变化，该水位站所测水位\(\eta\)D.一个袋中装有\(5\)个白球和\(5\)个黑球，从中任取\(3\)个，其中所含白球的个数答案：AD6.已知随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{a}{k(k+1)},k=1,2,3\)，则（）A.\(a=\frac{3}{4}\)B.\(P(X\geq2)=\frac{1}{6}\)C.\(E(X)=\frac{9}{4}\)D.\(D(X)=\frac{29}{16}\)答案：ABC7.设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(0,1)\)，则（）A.\(P(X\lt0)=0.5\)B.\(P(X\lt-1)=P(X\gt1)\)C.\(P(-1\ltX\lt1)=0.6826\)D.\(P(-2\ltX\lt2)=0.9544\)答案：ABCD8.已知随机变量\(X\)服从两点分布，且\(P(X=0)=0.3\)，则（）A.\(P(X=1)=0.7\)B.\(E(X)=0.7\)C.\(D(X)=0.21\)D.\(P(X^{2}=1)=0.7\)答案：ABCD9.若随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{2^{k}},k=1,2,\cdots\)，则（）A.\(P(X\geq2)=\frac{1}{4}\)B.\(E(X)=2\)C.\(D(X)=2\)D.\(P(X\lt3)=\frac{7}{8}\)答案：BD10.下列关于正态分布曲线性质的说法正确的是（）A.曲线是单峰的，它关于直线\(x=\mu\)对称B.曲线在\(x=\mu\)处达到峰值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)C.当\(\sigma\)一定时，曲线的位置由\(\mu\)确定，曲线随着\(\mu\)的变化而沿\(x\)轴平移D.当\(\mu\)一定时，曲线的形状由\(\sigma\)确定，\(\sigma\)越大，曲线越“瘦高”答案：ABC三、判断题1.离散型随机变量的所有取值有时是无法一一列出的。（）答案：错误2.随机变量\(X\)的数学期望\(E(X)\)是个变量，其随\(X\)的变化而变化。（）答案：错误3.若随机变量\(X\)服从两点分布，则\(D(X)=p(1-p)\)，其中\(p\)为成功概率。（）答案：正确4.正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)中的参数\(\mu\)是正态分布的均值，\(\sigma\)是正态分布的标准差。（）答案：正确5.离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的取值越集中。（）答案：错误6.已知随机变量\(X\)服从二项分布\(X\simB(n,p)\)，则\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)是\(X\)取\(k\)时的概率。（）答案：正确7.若随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，则\(P(\xi\lt\mu-\sigma)=P(\xi\gt\mu+\sigma)\)。（）答案：正确8.对于任何随机变量\(X\)，都有\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)。（）答案：正确9.离散型随机变量\(X\)的分布列中，各个概率值可以小于\(0\)。（）答案：错误10.若随机变量\(X\)服从正态分布\(N(2,\sigma^{2})\)，且\(P(X\lt4)=0.8\)，则\(P(0\ltX\lt2)=0.3\)。（）答案：正确四、简答题1.已知随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{4},k=1,2,3,4\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。答案：根据期望公式\(E(X)=\sum_{k}kP(X=k)\)，可得\(E(X)=1\times\frac{1}{4}+2\times\frac{1}{4}+3\times\frac{1}{4}+4\times\frac{1}{4}=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2.5\)。再根据方差公式\(D(X)=\sum_{k}(k-E(X))^{2}P(X=k)\)，先计算\((k-2.5)^{2}\)分别为\((1-2.5)^{2}=2.25\)，\((2-2.5)^{2}=0.25\)，\((3-2.5)^{2}=0.25\)，\((4-2.5)^{2}=2.25\)，则\(D(X)=2.25\times\frac{1}{4}+0.25\times\frac{1}{4}+0.25\times\frac{1}{4}+2.25\times\frac{1}{4}=\frac{2.25+0.25+0.25+2.25}{4}=1.25\)。2.某射手每次射击击中目标的概率是\(0.8\)，求这名射手在\(5\)次射击中，恰有\(4\)次击中目标的概率。答案：因为射手射击服从二项分布，设\(X\)表示击中目标的次数，\(X\simB(5,0.8)\)。根据二项分布概率公式\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)，这里\(n=5\)，\(k=4\)，\(p=0.8\)，\(1-p=0.2\)。则\(P(X=4)=C_{5}^{4}\times0.8^{4}\times0.2^{5-4}=5\times0.4096\times0.2=0.4096\)。3.已知随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(3,\sigma^{2})\)，且\(P(\xi\lt5)=0.8\)，求\(P(1\lt\xi\lt3)\)。答案：因为正态分布曲线关于直线\(x=\mu=3\)对称，所以\(P(\xi\lt3)=0.5\)。已知\(P(\xi\lt5)=0.8\)，那么\(P(3\lt\xi\lt5)=P(\xi\lt5)-P(\xi\lt3)=0.8-0.5=0.3\)。由正态分布的对称性可知\(P(1\lt\xi\lt3)=P(3\lt\xi\lt