（人教A版）必修一高一数学上册同步讲义+分层练习1.3 集合的基本运算（解析版）

第页1.3集合的基本运算思维导图新课标要求1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。2.在具体情境中，了解全集与空集的含义。3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。知识梳理名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）补集A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.名师导学知识点1并集及其运算（重点）并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．【例1-1】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D【例1-2】已知集合，或，则（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】由题设，或或.故选：A【变式训练1-1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故选：D.【变式训练1-2】已知集合，，则（

）A． B．C． D．{1，2，3}【答案】A【解析】.故选：A【变式训练1-3】已知集合，，那么集合A可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，；集合A中一定有元素0和3，故可排除A,B,D;故选：C.【变式训练1-4】集合，则的子集的个数为___________.【答案】8【解析】，，有个元素，所以子集个数为.故答案为：知识点2交集及其运算（重点）交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．【例2-1】已知集合，4，6，，，2，，则．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，4，6，，，2，，．故答案为：．【例2-2】设集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合，集合，则，故选：D【例2-3】若A=，B=，则=____________【答案】【解析】将代入，得，解得，则，所以.故答案为：【变式训练2-1】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由条件可知,，所以.故选：A【变式训练2-2】已如集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A【变式训练2-3】设集合，下列表示正确是（

）A．， B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则，对：因为不是的子集，故错误；对：因为不是的子集，故错误；对：是的非真子集，故错误；对：.故正确.故选：.【变式训练2-4】设集合，则（

）A． B．C．（1，2） D．【答案】D【解析】集合A表示在直线2x-y=0上所有的点，集合B表示3x+y=5上所有的点，所以联立方程，解得x=1，y=2，，即A与B的交集是点（1,2）；故选：D.【变式训练2-5】（多选）若全集为，集合则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因集合，则有，A正确；全集为，则，又，则有，B正确；因，，因此，不正确，C不正确；因，则，而，则正确，D正确.故选：ABD【变式训练2-6】已知集合，则的元素个数为___________.【答案】5【解析】因为集合，集合，所以，所以的元素个数为5.故答案为：5.知识点3全集、补集及其运算（重点）求补集的方法(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．【例3-1】全集，集合，则______．【答案】【解析】因为全集，集合，所以，故答案为：【例3-2】设全集，若集合，则（

）A．{4，8，10} B．{3，8，10} C．{1，4，6，8} D．{1，3，8，10}【答案】B【解析】由，，所以.故选：B【变式训练3-1】已知全集，集合，则（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【解析】解：因为全集，集合，所以故选：D【变式训练3-2】设全集，集合，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由全集，集合，所以.故选：C.【变式训练3-3】若全集，且，则集合（

）A．{1，4} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2}【答案】B【解析】解：因为全集，且，所以.故选：B【变式训练3-4】设全集为，，，则等于（

）A．{0，2，4，6} B．{0，2，4}C．{6} D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.【变式训练3-5】（多选）已知，，则下列正确的是（

）A． B．C．或x>3} D．或【答案】ABD【解析】∵，，∴或，故选：ABD.知识点4交、并、补混合运算（重点）解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【例4-1】已如集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，故选：C.【例4-2】设全集为，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故，故选:B.【例4-3】设全集，集合，集合，则下列式子正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】A，对于A，故A正确同理得，，B，C，D错误，故选：A【变式训练4-1】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，所以．故选：B.【变式训练4-2】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】或，∴.故选：C.【变式训练4-3】已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（

）.A．m B．n C． D．【答案】D【解析】∵中有m个元素，中有n个元素，又非空，∴中有个元素.故选：D.【变式训练4-4】已知集合，，若，，则______，______．【答案】

【解析】因为，所以方程与有公共解，又同时满足方程与，所以，，所以；由上可知，，由得：，联立方程组解得，，所以，，故.故答案为：，.【变式训练4-5】已知，为非空集，为全集，且，用适当的符号填空：（1）______；

（2）______；（3）______；

（4）______；（5）______；

（6）______；（7）________；

（8）________．【答案】

=

=

=

=

【解析】由交集，并集，补集的运算及性质，结合子集、集合相等求解，直接写出答案即可.故答案为：，，，，=，=，=，=，，【变式训练4-6】设集合，，.求：(1)；(2)；(3).【解】(1)；(2){x|或}，{x|或}；(3){x|或}，{x|x＜1或3＜x≤4}，{x|或}.知识点5韦恩图表示集合的基本运算【例5-1】若全集为，集合和集合的图如图所示，则图中阻影部分可表示为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，因此，阴影部分区域所表示的集合为.故选：A.【例5-2】设，，，，则集合______，B=______．【答案】

【解析】由题意，画出韦恩图如图所示，结合，有故故答案为：，【变式训练5-1】已知集合，则正确表示集合U，，之间关系的维恩图是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，故A正确，BCD错误.故选：A.【变式训练5-2】（多选）图中阴影部分的集合表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由已知中阴影部分在集合N中，而不再集合M中，故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集），即可表示为或.故选：AC【变式训练5-3】某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.【答案】【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：.【变式训练5-4】已知全集，集合2，，.(1)求，，(2)如图①，阴影部分表示集合，求.(3)如图②，阴影部分表示集合，求.【解】(1)2，，，或.(2)因为根据题意可得或.(3)因为，根据题意可得或.知识点6含参数的集合运算问题（难点、易错点）(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．(2)集合运算常用的性质：①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B.(3)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(4)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．【例6-1】已知集合，．若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【解析】解：，

，且，，，解得：且的取值范围为且故选：D【例6-2】已知全集，集合或，.若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合或，可得，又因为且，所以，即实数a的取值范围为.故选：A.【例6-3】已知集合.(1)当时，求集合;(2)若，求实数m的取值范围.【解】(1)解：集合，当时，，所以或所以.(2)因为，所以，①当时，，解得，此时②当时，应满足，解得，此时综上，的取值范围是【变式训练6-1】已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为集合或，，，所以．故选：B．【变式训练6-2】若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】因为集合，，且，故可得或，解得或或，当时，集合不满足互异性，故舍去；当或时，满足题意.故满足条件的的个数有个.故选：C.【变式训练6-3】已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≥2C．a＜－1 D．a≤－1【答案】B【解析】若M∩N=M，则集合是集合的子集，即a≥2故选：B【变式训练6-4】已知集合，集合，若，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由于，所以.故选：A【变式训练6-5】（多选））已知集合，集合，若，则a的取值可能是（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】BCD【解析】解：集合，集合，当时，，成立；当时，，故或，解得或综上a的取值可能是，，.故选：BCD【变式训练6-6】在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由．已知集合，，是否存在实数，使得________？【解】假设存在实数，满足条件．若选①：，．当时，，解得：，满足题意；当时，结合可得：，解得：；综上所述：的取值范围为a≤0；若选②：，．当时，，解得：，满足题意；当时，结合得：或，不等式组无解；综上所述：的取值范围为a＜0；若选③：，；当时，，解得：，满足题意；当时，结合可得：，解得：；综上所述：的取值范围为a≤0.A组-[应知应会]1．设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，集合，，根据集合并集的概念及运算，可得.故选：A.2．设集合，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】依题意，.故选：C3．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为全集，集合，所以.故选：D4．设全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，又，所以.故选:A.5．设全集U，集合A和B，如图所示的阴影部分所表示的集合为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由图可知，阴影部分为A与B的并集去掉B剩下的部分，或者为A与B相对于U的补集的交集，故选：B.6.已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故可得或，因为，，故可得.故选：C.7．已知为全集，则下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】若，则，A说法正确；若，则集合A，B不一定要为空集，也可以是两个集合无公共元素，B说法错误；若，则，C说法正确；，即集合A，B均无元素，可得，D说法正确.故选：B.8．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名（并非每个学生必须参加某个社团）.则在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多学生人数是（

）A．63 B．38 C．37 D．25【答案】A【解析】当参加合唱社团的63名学生都参加了科技社团的时候，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，故答案为A故选：A9．（多选）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，所以，.故选：AC10．（多选）集合，则下列结论正确的是（

）A．A∪B=B B．A∪B=A C．A∩B=A D．A∩B=B【答案】BD【解析】因为，所以A∪B=A，A∩B=B.故选：BD.11．已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A∩B＝______，A∪B＝______【答案】

{5，8}

{3，4，5，6，7，8}【解析】由交集和并集的定义可得：A∩B＝{5，8}A∪B＝{3，4，5，6，7，8}故答案为：{5，8}，{3，4，5，6，7，8}12．若，，，则________，_____【答案】

【解析】因为，，，所以故答案为：；.13．设全集，集合或，集合.若，则实数n的取值范围为___________；实数m的取值范围为___________.【答案】

【解析】由题意，全集，集合或，集合,因为，所以或，解得或，所以实数的取值范围是，实数的取值范围是.故答案为：；.14．若非空且互不相等的集合，，满足：，，则________．【答案】【解析】解：非空且互不相等的集合，，满足：，，，，．故答案为：．15．已知集合，，.(1)求；(2)求.【解】(1)，，(2)∵，，∴