充分条件与必要条件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修一

1.4

课时1充分条件与必要条件

学习目标1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系3.掌握充分条件、必要条件的简单应用新课导入

王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵读至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”.由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的什么条件呢？新课导入命题：真命题：假命题:命题的形式：

可以判断真假的陈述句判断为真的语句判断为假的语句“如果p，那么q”或者“若p,则q”（

其中p为命题的条件，q为命题的结论

）

？真命题：（1）（4）假命题：（2）（3）新课学习一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以的到q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作

p⇒q,并且说，p是q的充分条件（sufficientcondition）,q是p的必要条件

（necessarycondition）.

充分条件与必要条件此时，如果q不成立，则p一定不成立.所以，q对于p成立而言是必要的.新课学习

如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q.记作

p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

上述命题(1)(4)中的p是q的充分条件，q是p的必要条件，而命题(2)(3)中p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

新课学习充分条件的判断与探求(1)充分条件是某一结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论或使此结论成立.(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立.新课学习必要条件的判断与探求(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q,则必有p;而具备了p，不一定有q.例题剖析例1下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件.(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件.例题剖析

由等式性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件.

方法提炼1、定义法判断充分条件(1)分清条件p与结论q(2)判断条件p能否推出结论q.(3)下结论：p⇒q，则p是q的充分条件；p⇏q，p不是q的充分条件2、集合法判断充分条件

已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}.若A⊆B,则p是q的充分条件.

思考

例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？？

我们说p是q的充分条件，是指由条件p能推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q.

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论的一个充分条件.例题剖析例2下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；这是一条平行四边形的性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件.四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件.例题剖析

显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件.由于（-1）×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件.

方法提炼1、定义法判断必要条件(1)分清条件p与结论q(2)判断结论q能否推出条件p.(3)下结论：p⇒q，则q是p的必要条件；p⇏q，q不是p的必要条件2、集合法判断充分条件

已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}.若B⊆A,则p是q的必要条件.

思考

例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？？

我们说q是p的必要条件，是指以p为条件能推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论的一个必要条件.随堂小测1、判断正误：（1）若q是p的必要条件，则q是唯一的.()（2）q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，则p一定不成立.（

）

（3）“xy＞0”是“x,y都大于0”成立的充分条件.()

××√2、已知命题p:x＞1,q:x＞2,则p是q的（

）A.充分条件B.必要条件

C.既不充分也不必要条件

D.以上答案均不正确

B3、（多选）使0＜x＜3成立的充分条件是（

）A.2＜x≤3B.0≤x＜1

C.0＜x≤2D.1＜x＜2

随堂小测CD4、（多选）使0＜x＜2成立的必要条件是（

）A.0＜x＜1B.x≥-1

C.0＜x≤3D.1＜x＜3

BC5.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x＞2或x＜-1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.随堂小测

课堂总结回顾本节课你有什么收获？1.命题的概念,命题的结构,命题的判断2.充分条件与必要条件p⇒q，则q是p的必要条件；p⇏q，q不是