1.2++集合间的基本关系+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系集合的概念含义元素的性质元素与集合的关系常见数集研究对象确定性、互异性、无序性表示方法元素集合元素组成的整体

自然语言法、列举法、描述法复习回顾|新

知

学

习|我们知道，两个实数之间有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，集合与集合之间是否有类似的关系呢？A为高一(7)班全体女生组成的集合；B为高一(7)班全体学生组成的集合；A中的元素都在B中知识点一：子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。记法与读法图示结论AB或A（B）符号语言：对于任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B.记作A⊆B（或B⊇A）；读作“A包含于B”（或“B包含A”）(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C,若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C.知识点一：Venn图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.如图示AB【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意

区分大小关系。教材p7观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；（2）C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班的全体学生组成的集合；（3）E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}.A⊆BC⊆DE⊆FF⊆E知识点二：集合相等E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}.

如果集合A是集合B的子集（A⊆B),且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等。记作A=B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A=B.图形语言：A（B）E⊆FF⊆E判定两个集合相等，可把握两个原则：①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，且对应元素分别相同，则两个集合相等②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B知识点二：集合相等例题1：已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={a,a2}，求a【解】由题意B中的元素也是1和-1，

知识点三：真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集。记法与读法图示记作A⫋B（或B⫌A）；读作“A包含于B”（或“B包含A”）AB

A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；知识点四：空集思考方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。定义我们把不含任何元素的集合叫做空集。记法

规定特性∅空集是任何集合的子集。(1)空集只有一个子集，即它的本身。∅⊆∅(2)空集是任何非空集合的真子集。A≠∅，则∅⫋A∈∉例题2：写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集【解】子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}其中真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}【分析】可把子集分为三类：

①不含元素的：∅

②含有一个元素的

③含有两个元素的

④含有三个元素的【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集∅知识点五：子集的性质空集是任何集合的子集.任何一个集合是它本身的子集.(传递性)类似于实数a≤b且b≤c，则a≤c知识点六：真子集的性质空集是任何非空集合的真子集.(2)若AB,BC,则AC(传递性)|知

识

延

申|思考1包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例解释？包含关系是集合与集合之间的关系，用“⊆”表示；属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示.二者切不可混淆，用符号之前要搞清楚是元素与集合还是集合与集合的关系.注意：0，{0}，

三者之间有什么关系?例题3：在以下写法中，正确的个数为()①0＝{0}；

②0∈{0}；

③0⊆{0}；④0＝

；

⑤0∈

；

⑥0⊆；⑦

＝{0}

；

⑧

∈{0}；

⑨⊆{0}．

A．1个B．2个C．3个D．4个B思考2写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.含有n个元素的集合的子集有___个,真子集有_____个,非空真子集有_____个.集合{a,b}的子集有___个,真子集有___个;集合{a,b,c}的子集有___个,真子集有___个;………4387222322-123-1|题

型

讲

解|题型一

子集和真子集个数

题型二集合间的关系判断

|课

堂

总

结|一、子集:二、集合相等:若A

B且B

A,

则A=B.三、真子集如果集合A

B，但存在元素x∈B且x

A，就称集合A是集合B的真子集(propersubset)

,记作A⫋B（或B⫌A）四、空集不含任何元素的集合