（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习2.5.2 圆与圆的位置关系（原卷版）

2.5.2圆与圆的位置关系课程标准核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.直观想象数学运算知识点1圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．【即学即练1】已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是A．外切 B．相离C．内切 D．相交【即学即练2】圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离【即学即练3】两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．内含【即学即练4】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．【即学即练5】已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．【即学即练6】两圆相交于和两点，两圆圆心都在直线上，则的值为______．知识点3圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含有2条外公切线和2条内公切线，共4条有2条外公切线和1条内公切线，共3条；只有2条外公切线只有1条外公切线无公切线2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解【即学即练7】圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练8】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（

）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条知识点4圆系方程(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；(2)与圆同心圆的圆系方程为；(3)过直线𝑬𝑴𝑩𝑬𝑫𝑬𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏.𝑲𝑺𝑬𝑬𝟑\∗𝑴𝑬𝑹𝑮𝑬𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴𝑩𝑬𝑫𝑬𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏.𝑲𝑺𝑬𝑬𝟑𝑬𝑴𝑩𝑬𝑫𝑬𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏.𝑲𝑺𝑬𝑬𝟑与圆交点的圆系方程为4过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.考点一圆与圆位置关系的判断解题方略：判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．（一）判断圆与圆的位置关系【例1-1】圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是()A．相离 B．相交C．相切 D．内含变式1：已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．变式2：已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．内含变式3：已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（

）A．外离 B．外切 C．内含 D．内切（二）由圆的位置关系求参数【例1-2】两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是()A.eq\r(10) B.eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5) D．5变式1：已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．变式2：若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．变式3：已知半径为5的动圆的圆心在直线：上.存在正实数___________，使得动圆中满足与圆：相外切的圆有且仅有一个.变式4：在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是_______.变式5：在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_________.【例1-3】求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4内切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．变式1：(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25考点二与圆相交有关的问题解题方略：1．圆系方程一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程（一）圆系方程的应用【例2-1】求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．（二）求两圆公共弦方程及公共弦长【例2-2】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．变式1：圆与圆的公共弦长为________．变式2：若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为A． B． C． D．变式3：圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A． B．C． D．变式4：已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式5：已知圆与圆相交于A，B两点，则______.考点三圆与圆的位置关系的应用（一）与圆公切线有关的问题（1）圆的公切线条数【例3-1】两圆和的公切线有______条．【例3-2】已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式1：已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（

）A．3 B．8 C．4 D．9（2）圆的公切线方程【例3-3】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．（3）圆的公切线长【例3-4】在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.求圆和圆公切线段的长度；与圆有关的最值问题【例3-5】已知A是圆上的动点，B是圆上的动点，则的取值范围为___________.变式1：与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．变式2：已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为_________变式3：已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（

）A． B． C． D．题组A基础过关练1、已知圆与圆，则两圆的位置关系为（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离2、设，则两圆与的位置关系不可能是（

）A．相切 B．相交 C．内切和内含 D．外切和外离3、已知圆与圆外切，则______．4、两圆与相交，则的取值范围是______.5、已知半径为的圆与圆外切于点，则圆心的坐标为（

）A． B． C． D．6、已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是__________.7、已知圆的方程为，若y轴上存在一点，使得以为圆心、半径为3的圆与圆有公共点，则的纵坐标可以是A．1 B．–3 C．5 D．-78、圆与圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．9、已知圆：和圆：，则（

）A．公共弦长为 B．公共弦长为C．公切线长 D．公切线长10、垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（

）A． B． C． D．11、两圆与的公切线有___________条.12、已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．或13、设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.题组B能力提升练14、圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定15、已知圆：，圆：.若圆上存在点，过点作圆的两条切线.切点为，使得，则实数的取值范围是_______16、若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是(

)A． B．C． D．17、过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．18、已知圆：与圆：相交于，两点，且，则下列错误的结论是（

）A．是定值 B．四边形的面积是定值C．的最小值为 D．的最大值为2题组C