直线与平面垂直判定教学实录

直线与平面垂直判定教学实录师：同学们，上课了。在前面的学习中，我们已经认识了空间中的点、线、面，以及它们之间的一些基本位置关系。今天我们来深入探讨一种非常特殊也非常重要的线面位置关系——直线与平面垂直。大家先想想，在我们的生活中，有哪些直线与平面垂直的例子呢？（学生思考片刻，开始小声议论）生1：教室里的墙角线，是不是和地面垂直？师：嗯，墙角的那条棱，它和地面的关系，我们感觉是“立得很直”。还有吗？生2：操场上的旗杆，应该是和地面垂直的。师：非常好的例子！旗杆如果安装得“正”，它就稳稳地立在地面上，我们说旗杆所在的直线与地面所在的平面是垂直的。那么，从这些例子中，我们能抽象出什么样的几何特征呢？今天，我们就来一起学习如何准确地判定一条直线与一个平面是否垂直。（板书课题：直线与平面垂直的判定）一、直线与平面垂直的概念师：我们先来明确一下，什么叫做直线与平面垂直。请大家看我这里（拿起一个长方体模型）。这个长方体的一条侧棱，比如这条AA'，它和底面ABCD是什么关系？生众：垂直。师：为什么你觉得它是垂直的？生3：因为它和底面的边AB、AD都垂直。师：哦，它和AB垂直，和AD也垂直。那如果一条直线和平面内的两条直线都垂直，它就和这个平面垂直吗？（稍作停顿，观察学生反应）我们再看，这条侧棱AA'，它仅仅和AB、AD垂直吗？它和底面ABCD内的其他直线，比如BC，或者CD，甚至是底面内任意一条你能画出来的直线，是什么关系呢？生4：好像也是垂直的。师：是的。如果我们把这条侧棱看作直线l，底面看作平面α，那么当l与α垂直时，直线l似乎与平面α内的每一条直线都垂直。这给了我们一个启示。（板书）直线与平面垂直的定义：如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。它们唯一的公共点叫做垂足。师：大家注意定义中的“任意一条直线”，这个“任意”两个字非常关键。它意味着这条直线l要和平面α内所有的直线都垂直，无一例外。那么，根据这个定义，我们能不能直接用来判定一条直线与一个平面垂直呢？生5：好像有点困难，平面内有无数条直线，我们不可能一一去检验。师：说得非常好！定义虽然精确地描述了线面垂直的本质，但直接用它来判定，在操作上几乎是不可能的。我们需要一个更简便、更具操作性的判定方法。这就是我们今天要研究的核心问题：直线与平面垂直的判定定理。二、直线与平面垂直的判定定理探究师：我们回到刚才的长方体模型。侧棱AA'垂直于底面ABCD，它也垂直于底面内的两条相交直线AB和AD。这两条直线AB和AD有什么特点？生6：它们相交。师：对，它们是相交的。那么，是不是一条直线只要和平面内的两条相交直线都垂直，它就和这个平面垂直呢？这只是我们从一个模型中观察到的现象，能不能作为一个普遍的规律呢？师：接下来，我们来做一个探究实验。请大家拿出准备好的三角形纸片（任意锐角或钝角三角形均可），我们一起来做一个翻折实验。（教师边演示边说明）实验步骤：1.取△ABC，我们过一个顶点A翻折纸片，得到折痕AD。2.将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。3.观察折痕AD与桌面的位置关系。师：请大家动手操作一下，并思考：当折痕AD满足什么条件时，AD所在的直线与桌面所在的平面α垂直？（学生动手操作，小组讨论）（几分钟后）师：哪位同学愿意分享一下你们小组的发现？生7：我们小组发现，如果翻折后，当AD⊥BD且AD⊥CD时，把BD、DC放在桌面上，AD就好像和桌面垂直了。师：很好的观察！其他小组有类似的发现吗？（多数学生点头）当AD同时垂直于BD和CD，并且BD和CD是相交的（它们在桌面上交于点D），这时AD就与桌面垂直。师：那么，如果我们把桌面看作平面α，BD和CD看作平面α内的两条相交直线，AD看作直线l。这个实验是不是在告诉我们：如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，那么直线l就与平面α垂直？生众：好像是这样。师：这个结论非常重要。我们再从逻辑上思考一下，如果一条直线l与平面α内的两条相交直线m、n都垂直，设它们的交点为O。根据我们之前学过的线面垂直的定义，如果我们能证明l与平面α内任意一条直线g都垂直，那么l就垂直于α。这个证明过程在立体几何的理论体系中是可以严格完成的，有兴趣的同学课后可以查阅相关资料。今天，我们主要通过实验感知和逻辑推演的思路，来接受这个判定方法。师：因此，我们得到了直线与平面垂直的判定定理。（板书）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。师：我们来解读一下这个定理。定理的条件有几个？分别是什么？生8：有三个条件。直线l垂直于平面α内的直线m，直线l垂直于平面α内的直线n，而且直线m和n相交。师：非常准确！（板书：条件：①l⊥m，②l⊥n，③m∩n=O，m⊂α，n⊂α。结论：l⊥α）师：这里的关键词是“平面内”、“两条相交直线”。“相交”这个条件能不能去掉？如果是两条平行直线呢？生9：不能去掉。如果是两条平行直线，比如教室墙壁上的一条横线和它的平行线，一条直线垂直于这两条平行线，但这条直线不一定和墙面垂直，它可能是沿着墙面的方向。师：非常好的反例！这说明“相交”这个条件是必不可少的。因此，我们在应用判定定理时，一定要注意这三个条件缺一不可。我们可以简单概括为“线线垂直，则线面垂直”，但这里的“线线垂直”，必须是直线与平面内“两条相交直线”都垂直。三、定理应用与例题讲解师：理解了判定定理，我们来看如何运用它来解决问题。例题：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。师：这是一个文字证明题，我们首先要根据题意画出图形，写出已知、求证。（教师在黑板上画出图形，并标注字母）已知：a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。师：要证明b⊥α，根据我们今天学习的判定定理，我们需要在平面α内找到两条相交直线，使得b与这两条相交直线都垂直。大家思考一下，如何利用已知条件a⊥α和a∥b来找到这样的直线？生10：因为a⊥α，根据线面垂直的定义，a应该垂直于平面α内的任意一条直线。师：对！那我们就在平面α内任意取两条相交直线m和n，设它们相交于点O。（在图中画出m，n）证明：在平面α内任取两条相交直线m，n，且m∩n=O。∵a⊥α（已知），∴a⊥m，a⊥n（直线与平面垂直的定义）。又∵a∥b（已知），∴b⊥m，b⊥n（如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线）。∵m⊂α，n⊂α，m∩n=O（作图），∴b⊥α（直线与平面垂直的判定定理）。师：这个例题告诉我们，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。这是一个非常有用的结论。在证明过程中，我们先利用了线面垂直的定义得到线线垂直，再结合平行线的性质，得到了目标直线与平面内两条相交直线的垂直关系，最后应用判定定理完成证明。思路要清晰，步骤要完整。师：下面，请大家尝试解决一个简单的问题。练习：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：A'C'⊥平面BB'D'D。（学生思考，动笔书写，教师巡视指导，适时点拨。可请一位学生板演，然后师生共同点评）师：（待学生完成后）我们来看这位同学的证明过程。他首先连接了AC，因为在正方体中A'C'∥AC。然后，因为BD⊥AC（正方形对角线互相垂直），所以BD⊥A'C'。又因为BB'⊥平面A'B'C'D'，而A'C'⊂平面A'B'C'D'，所以BB'⊥A'C'。BD和BB'都在平面BB'D'D内，且BD∩BB'=B，所以A'C'⊥平面BB'D'D。思路非常清晰，完全符合判定定理的要求。四、课堂小结师：今天这节课，我们一起学习了直线与平面垂直的判定。大家回顾一下，我们主要学习了哪些内容？生11：学习了直线与平面垂直的定义，还有直线与平面垂直的判定定理。师：很好。定义是从“线线垂直”（与平面内任意一条直线垂直）的角度刻画了线面垂直。而判定定理则给我们提供了一个便捷的判定方法，即只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可。两者的联系与区别要搞清楚。生12：判定定理的条件是“平面内”、“两条”、“相交直线”，缺一不可。师：非常关键的一点！在应用定理时，一定要严格按照条件来。师：我们还通过实验探究、例题分析等方式加深了对概念和定理的理解。立体几何的学习，需要我们多观察、多动手、多思考，逐步建立空间想象能力。五、作业布置师：今天的作业是：1.课本习题X.X第X题，第Y题。2.思考题：如何证明三棱锥的三条侧棱两两垂直时，顶点在底面的射影是底面三角形的垂心？（选做）3.预习下一节内容：直线与平面垂直的性质。师：好了，今天的课就上到这里。下课！生众：老师再见！师：同学们再见！---教学反思（此部分为教师课后填写，非教学实录正文）：1.本节课通过生活实例引入，激发了学生的学习兴趣。实验探究环节学生参与度高，对理解判定定理的形成过程有积极作用。2.对定义中“任意一条直线”和判定定理中“