2025中考数学总复习《锐角三角函数》全真模拟模拟题含答案详解（精练）

中考数学总复习《锐角三角函数》全真模拟模拟题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（）A． B． C． D．2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝4、如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为（）A．asinα+asinβ B．atanα+atanβC． D．5、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、＝_______．2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______．3、如图,在中,是斜边上的中线,点是直线左侧一点,联结,若,则的值为______．4、规定：，，据此判断下列等式成立的是：_____．（写出所有正确的序号）①cos（﹣60º）＝，②sin75º＝，③，④5、已知斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡AB的长为________；坡角为________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点在第三象限的抛物线上，直线经过点、点，点的横坐标为．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，直线交轴于点，过点作轴，交轴于点，交抛物线于点，过点作，交直线于点，求线段的长；（3）在（2）的条件下，点在上，直线交于点，，点在第二象限，连接交于点，连接，，，点在的延长线上，点在直线上，且点的横坐标为5，连接，，求点的纵坐标．2、小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点A处测得热气球底部点C，中部点D的仰角分别为和，已知点O为热气球中心，，，点C在上，，且点在同一平面内，根据以上提供的倍息，求热气球的直径约为多少米？（参考数据：）（结果精确到）3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度向终点A运动．以PQ为底边向下作等腰Rt△PQR，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜4）．（1）直接写出AB的长；（2）用含t的代数式表示BP的长；（3）当点R在△ABC的内部时，求t的取值范围．4、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H．（1）当点E在如图①位置时，求证：BF﹣DH＝BD；（提示：延长DA交BF于G）（2）当点E在图②、图③的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DH＝1，BD＝4，则tan∠DHE＝．5、如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CDBE．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE≌△RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．6、如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出等腰，点在小正方形的顶点上，的面积为；（2）在方格纸中画出以为斜边的，点在小正方形顶点上，，连接，并直接写出的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．【详解】如图，是等腰三角形，过点A作，BC=10cm，AB=AC，可得：，∵AD是底边BC上的高，∴，∴∴，即底角的正切值为．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．2、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．3、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．【详解】解：由勾股定理得：，所以，，，，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．4、B【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解．【详解】解：在中，，在中，，．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握直角三角形锐角三角函数．5、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝xtan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题1、5【解析】【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：==5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键2、##【解析】【分析】根据题意过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义即可求出∠ABC的正弦值．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．，∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE，∴CE=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．3、【解析】【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：是斜边上的中线，即又又又设，则故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．4、②③④【解析】【分析】根据规定运算法则可得，由此可判断①；根据和规定的运算法则即可判断②；根据和规定的运算法则即可判断③；根据和规定的运算法则即可得④．【详解】解：，等式①不成立；，，，，等式②成立；，，，等式③成立；，，，等式④成立；综上，等式成立的是②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了正弦和余弦，掌握理解规定的三角函数运算法则是解题关键．5、83【解析】【分析】如图，由题意得：BC⊥AC,AC=12,BC:AC=1:3,再利用坡度的含义求解∠A=30°,再利用∠A的余弦函数值求解【详解】解：如图，由题意得：BC⊥AC,AC=12,BC:AC=1:3又∵tanA=∴∠A=30°,而cosA=∴AB=12故答案为：8【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度，坡角的含义，由坡度求解出坡角为是解本题的关键.三、解答题1、（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）点N的纵坐标为5．【解析】【分析】（1）根据题意可得一次函数图象经过A、D两点，所以当及当时，可确定A、D两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可确定；（2）根据题意当时，代入抛物线解析式确定点P的坐标，求得，然后求出直线与y轴的交点T，利用勾股定理确定，由平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质即可得出结果；（3）过点P作轴，且，即，，利用相似三角形的性质可确定，，求出直线GF的函数解析式，过点M作轴，设且，可求得MF的长度，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入即可确定点的坐标，求出，根据题意即可确定点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，利用相似三角形及勾股定理即可得出结果．【详解】解：（1）∵经过A、D两点，∴当时，，解得，∴，当时，，∴，将A、D两点代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）当时，，解得：，，∴，∴，直线解析式，当时，，∴，∴，在中，，∵轴，∴轴，∴，∵，∴，∴，即；（3）如图所示：过点P作轴，且，即，，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，，设直线GF的函数解析式为：，可得：，解得：，∴直线GF的函数解析式为：，过点M作轴，设且，∴，，∵，即，∴，∴，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入可得：可得：，解得：，点，∵，∴，∵，∴，解得：，点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，∴，∴，设，，则，，，，∴，代入化简可得：①，∵，∴②，联立①②求解可得：，∴点N的纵坐标为5．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．2、热气球的直径约为9米【解析】【分析】过点E作，过点D作，利用三角函数的定义计算即可；【详解】过点E作，过点D作，在中，，在中，，设热气球的直径为x米，则，，解得：；故热气球的直径约为9米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确计算是解题的关键．3、（1）AB＝5cm；（2）当0＜t≤时，BP＝5﹣2t，当＜t＜4时，BP＝2t﹣5；（3）＜t＜．【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得答案；（2）分0＜t≤和t＜4两种情况列式即可；（3）当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，求出此时t的值即可解决问题；【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝＝5（cm）；（2）当0＜t≤时，BP＝AB﹣AP＝5﹣2t，当t＜4时，BP＝2t﹣AB＝2t﹣5；（3）如图，当点P在BC上时，R在△ABC外部，当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，∴∠E＝∠G＝90°，∴∠PRE+∠RPE＝90°，∵∠PRQ＝90°，∴∠PRE+∠GRQ＝90°，∴∠RPE＝∠GRQ，∵PR＝QR，∴△PER≌△RGQ（AAS），∴PE＝RG，ER＝GQ，∵AP＝2t，sin∠BAC＝，cos＝，∴PD＝2t•sin∠BAC＝，AD＝2t•cos∠BAC＝，设点R（x，y），∴PE＝﹣，RG＝y﹣t，GQ＝﹣x，ER＝4﹣﹣y，∴，∴，∴y＝﹣，∴点R在直线y＝﹣上运动，当y＝0时，﹣＝0，∴x＝﹣，由＝﹣得，t＝，∵A（0，4），B（﹣3，0），∴AB的解析式是：y＝+4，由得，，∴x＝﹣，∴﹣2＝﹣，∴t＝，∴＜t＜．【点睛】本题等腰三角形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，学会利用特殊位置取值范围问题．4、（1）见解析；（2）或；（3）或【解析】【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明△ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明△GAF≌△DAH，得到，则；（3）如图①所示，先根据结论求出，然后证明△FBE∽△HDE，得到，即，则，；然后对于图②和图③利用类似的方法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴∠FBD=∠HDB=90°，∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，∴∠FGA=120°，∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG=AB=AD，在△AGF和△ADH中，，∴△AGF≌△ADH（ASA），∴DH=GF，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，∴，∴；如图③所示，延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BG∥DH，∴∠FGA=∠HAD，又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，∴△GAF≌△DAH（AAS），∴，∴；（3）如图①所示，∵，，，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BF//DH，∴△FBE∽△HDE，∴，即，∴，∴；如图②所示，∵，，，∴此时不符合题意；如图③所示，同理可得，△EHD∽△EFB，∴，即，∴，∴；故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，