2025中考数学总复习《锐角三角函数》模拟试题附参考答案详解（培优B卷）

中考数学总复习《锐角三角函数》模拟试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）．A．米 B．米 C．米 D．米2、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A． B． C． D．3、如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（）

A． B． C． D．130m4、如图，中，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点．若长为4，则线段长的最小值为（）A． B． C． D．5、如图，在小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_____，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为____米．（保留根号）2、在中，，，以BC为斜边作等腰，若，则BC边的长为______．3、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为_____．4、如果斜坡的坡度为1∶3，斜坡高为4米，则此斜坡的长为___________米5、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的长应设计为___cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19）三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、计算：．2、如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆相连.已知直线与直线的夹角是.在地面点处测得点的仰角是,点仰角是,点与点之间的距离为米．求：（1）点到地面的距离；（2）的长度．（精确到米）（参考数据:）3、计算：8cos60°＋（－3.14）0－|－4|＋（－1）2021．4、如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．5、计算：．6、如图,在中，，点分别在边和边上，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，如果，则_______．-参考答案-一、单选题1、A【分析】过铅球C作CB⊥底面AB于B，在Rt△ABC中，AC=5米，根据锐角三角函数sin31°=，即可求解．【详解】解：过铅球C作CB⊥底面AB于B，如图在Rt△ABC中，AC=5米，则sin31°=，∴BC=sin31°×AC=5sin31°．故选择A．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．2、B【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，

∴△OBM与△ODN是直角三角形，，∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，∴,，∴，，∴，，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．3、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到＝＝，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB．【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF，DF＝CE，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝＝tan53°，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝tan53°，∵tan53°≈，∴＝＝，∴AF＝CF，CE＝BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB＝＝30．故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4、D【分析】如图，连接由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接交于点则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解：如图，连接由为直径，在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接交于点则此时最小，，，故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.5、A【分析】观察题目易知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，求出斜边AB，根据余弦的定义即可求出．【详解】解：由题知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，∴AB==5＝，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，先根据BD与水平线成45°角，从而得到直线BD与直线平行，再根据，得出MN平行于直线，利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，再根据直线MN和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据求出直线MN的解析式，再求出直线MN与y轴的交点M的坐标，求出BM的长度，再根据，求出BG即可．【详解】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BG⊥MN于G，如图：∵抛物线的顶点C的坐标为，∴设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得：，解得：，∴，∵，BC⊥y轴，∴BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45°，∵，∴MN与直线平行，，∴设MN的解析式为，∵MN与抛物线只有一个交点，∴方程组只有一组解，∴方程有两个相等的实数根，将方程整理得：，∴，解得：，∴MN的解析式为，令，得，∴，∵，∴（米），在中，，，∵，∴（米），∴此时水住与遮阳棚的最小距离为米．故答案为：，．【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键．2、2【解析】【分析】根据题意作出图形，过点作于点，则，由是等腰直角三角形，，进而可得是等腰直角三角形，，根据正切的定义求得，进而求得【详解】解：如图，过点作于点，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，即解得故答案为：2【点睛】本题考查了正切的定义，解直角三角形，根据题意作出图形是解题的关键．3、【解析】【分析】根据题意，找到图象G的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值【详解】解：∵将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，设过原点的直线∴当y＝﹣x2x，存在唯一交点时即解得设为上一点，过点作轴，则当图象旋转时，与轴相切，符合函数图象，故即故答案为：30°【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与轴的夹角是解题的关键．4、【解析】【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可．【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3．斜坡高为4米斜坡水平距离为12米．由勾股定理可得：斜坡长为米．故答案为：．【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键．5、【解析】【分析】连接BD，过点O作OH⊥BD于点H，从而得到OB=OD，进而得到∠BOH=50°，在中，可求出OB，即可求解．【详解】解：如图，连接BD，过点O作OH⊥BD于点H，∵AB=CD，点O是AB、CD的中点，∴OB=OD，∵∠DOB＝100°，∴∠BOH=50°，，在中，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题1、0【解析】【分析】根据乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：原式==-2+2=0【点睛】本题考查了实数的运算，乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2、（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米【解析】【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米．【详解】解：（1）过点A作交于点F，则，在中，（米），即点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作交于点H，在四边形AFCH中，，∴四边形AFCH是矩形，∴，，设BC=x，则米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．3、【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方，再加减即可．【详解】解：8cos60°＋（－3.14）0－|－4|＋（－1）2021．===【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方．4、（1）；（2）①最大距离为，此时D的坐标为；②【解析】【分析】（1）由直线y=x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①设出点Ｄ和点Q的坐标，运用三角函数，求出ＤH的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可；②先求AE的解析式，再与抛物线的解析式联立求解即可．【详解】解：（1）y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）①过点D作DH∥y轴交AB于H，DH⊥AB于H，令，解得，∴C(1，0)，由（1）得A（﹣4，0），B（0，2），在Rt△AOB中，BO=2，AO=4，∴AB=，∵PD∥OB，∴∠OBA=∠DQH，∴sin∠OBA=sin∠DQH=，设点D的横坐标为m，则D，Q，DQ=，∵sin∠DQH=，∴DH=()=，∴当m=-2时，DH最大距离为，当m=-2时，=3，∴D(-2，3)；②∵由（1）得A（﹣4，0），B（0，2），C(1，0)，∴，∴，∴∠ABC=90°，延长CB到E，使BC=BE，连接AE交抛物线于点D，则D点即为所求，设E(x，y)，∵B（0，2），C(1，0)，∴，∴，∴E(-1，4)，∵A（﹣4，0），设直线AE为y=kx+b，则，解得，∴直线AE为，联立，解得(舍去)，∴【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综