2026届高考数学第一轮复习试卷：等式与不等式 解答题专项练（含解析）

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页高考数学第一轮复习试卷：等式与不等式解答题专项练一、基本不等式（本大题共12小题）1．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．(1)求和的值；(2)若实数满足，求的最小值.2．要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为.(1)求为何值时，总造价最少？(2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围.3．已知函数.(1)判断函数的奇偶性并予以证明；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.4．（1）设集合，，求：，；（2）已知、、都是正数，且满足，求证：.5．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同．若实数．满足．求的最小值．6．已知函数.(1)当时，求的定义域及单调递增区间；(2)若关于的方程在上有解，求的最小值.7．已知定义在奇函数，满足，且当时，.(1)求；(2)求时，函数的解析式；(3)当时，的最小值为，求实数的值.8．已知圆与圆，，.(1)当时，直线与圆交于，两点，若，求MN；(2)若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值.9．已知函数和定义域都为为偶函数，为奇函数，且满足.(1)求；(2)从①；②；③这三个结论中选一个，并加以证明；(3)对都有，求的取值范围.10．已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)若正实数，满足，求的最小值.11．设矩形的周长为，把ΔABC沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．（1）求的解析式及定义域；（2）求的最大值．12．已知关于的不等式的解集为，集合.(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求的取值范围.二、不等关系与一元二次不等式（本大题共19小题）13．已知不等式的解集为或(1)求的值(2)解不等式．14．已知．(1)若的解集为，求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式．15．已知关于的不等式的解集为或x>2.(1)求，的值；(2)当时，求关于的不等式的解集（用表示）.16．已知函数，(1)恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，求不等式的解集；17．设函数，.(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)求关于的不等式的解集.18．解不等式：(1)(2)(3)19．“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．20．已知集合，.(1)求集合B；(2)求.21．已知关于x的不等式：kx2-2kx>x-2.(1)当k=2时，解不等式；(2)当k∈R时，解不等式.22．已知函数，满足(1)求函数的解析式；(2)求不等式的解集；(3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.23．已知不等式的解集为．(1)求的值；(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．24．已知，关于x的一元二次不等式的解集为.(1)求b，c的值；(2)若为非负实数，解关于的不等式.25．已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若，解关于的不等式.26．已知函数.(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)求关于x的不等式的解集；(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.27．某企业原有200名科技人员，年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在，说明理由.28．函数，(1)若的解集是或，求实数，的值；(2)当时，若，求实数的值；(3)，若，求的解集.29．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间秒秒距离米米(1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？30．（1）已知不等式的解集为，求的最小值.（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.31．已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数，的值；(2)若，解关于的不等式；(3)若，对于，成立，求的最大值.参考答案1．【答案】(1)或1，(2)2【详解】（1）幂函数，则，解得或1，又幂函数在上是减函数，故，解得，因为，故或，当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意；当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意，综上所述：或1，；（2）∵实数满足，∴，则，∴.当且仅当且，即时等号成立.所以的最小值是2.2．【答案】(1)(2)【详解】（1）设水池总造价为元，因为水池的一边长为，所以另一边为，所以，当且仅当，即时，等号成立.答：当时，总造价最少，最少为10.8万元.（2）由（1）得，，整理得，解得，所以x的取值范围是.3．【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：，函数的定义域为R，对于，都有，且，所以函数为偶函数.（2）由（1）知，，当且仅当时取等号，由存在使得不等式成立，得，所以实数的取值范围为.4．【答案】（1）见详解；（2）见详解.【详解】解：（1）因为，.①当时，则，则，；②当时，则，则，；③当且时，则，则，.综上所述，当时，，；当时，，；当且时，，.（2）因为、、都是正数，则，当且仅当时，等号成立，同理可得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，.5．【答案】【详解】由可得，解得，即有，即，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为.6．【答案】(1)定义域为，单调递增区间为(2)【详解】（1）当时，，令，即，解得或，所以函数的定义域为；因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增；即的单调递增区间为.（2）因为关于的方程在上有解，所以关于的方程在上有解且恒成立，即在上有解，因为，当且仅当，即时等号成立，又当时在上恒成立，所以的最小值为.7．【答案】(1)(2)(3).【详解】（1）；（2）设，则，故；（3）时，，令，则令，即的最小值为又，故由最小值的定义知，且等号能取到，即，且等号能取到，又，当且仅当即时取等，因此，即.8．【答案】(1)(2)9【详解】（1）若，则圆的圆心为O0,0，半径，因为，所以.（2）因为圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切，则，则，即，且，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值9.9．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）定义域为R,为奇函数，则，令得,则.（2）证明：函数和定义域都为为偶函数，为奇函数,则，.因为，则,两式相减求得.两式相加求得.若选①,因为，又，所以.若选②,因为，又，所以.若选③,左边右边.（3）由得，，整理得，，设，当且时，等号成立，所以.当时，；当时，，因为，综上所得，，即的取值范围是.10．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以和是方程的两根，由韦达定理得，解得，；（2）由（1）得，，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值，即的最小值为.11．【答案】（1）（2）的最大值为.【详解】（1）如下图所示：∵设，则，又，即，∴，得，∵，∴，∴的面积．（2）由（1）可得，，当且仅当，即时取等号，∴的最大值为，此时．12．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，1和是方程的两个实数根，且，得，解得，是的充分不必要条件，是的真子集，而，解得故的取值范围为（2）由（1）可得：，所以，当且仅当时，取得最小值为，此时.依题意有，即，整理得，解得所以的取值范围为.13．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为不等式的解集为或,所以，是方程的两个解，且a>0，所以，解得.（2）由（1）知原不等式为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.14．【答案】(1)；.(2)答案见解析.【详解】（1）解：由不等式的解集为，即的解集为，所以为方程的根，所以，解得，又由不等式，解得，所以．（2）解：由不等式等价于，可得，当时，解不等式得或；当时，解得；当时，解得或；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．15．【答案】(1)；(2)答案见详解【分析】（1）1，2是方程的两根，由韦达定理得到方程组，求出；（2）因式分解得到的两根，分，，，求出解集.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，所以1，2是方程的两根，所以解得（2）由（1）知关于的不等式，即为，令得或，①时，不等式的解集为；②时，解得，不等式的解集为；③时，解得，不等式的解集为.16．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为函数，所以恒成立，等价于恒成立，即恒成立，当时，恒成立，满足题意当时，要使恒成立，则，即,解得．综上所述，实数的取值范围是.（2）由得,，即,又因为，所以：当，即时，不等式的解集为或；当，即时，可得，不等式的解集为;当，即时，不等式的解集为或．综上，时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为或．17．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为函数在上单调递减，当时，即函数在上单调递减，合乎题意；当时，因为二次函数在上单调递减，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.（2）不等式可化为，当时，原不等式即为，解得；当时，方程的两根分别为，.（i）当时，，解原不等式可得；（ii）当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，可得：，即，解得：或，所以不等式的解集为：（2）对于，即恒成立，所以不等式的解集为：（3）等价于且，解得：或，所以不等式的解集为：19．【答案】(1)米(2)平方米【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，因为矩形的长比宽至少多米，所以，所以，解得，又因为，所以，所以草坪宽的最大值为米．（2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得，当且仅当即时，等号成立，故整个绿化面积的最小值为平方米．20．【答案】(1)或(2)【详解】（1）因为，所以或.（2）因为，所以或，所以.21．【答案】(1)或(2)答案见解析【详解】（1）解：当k=2时，2x2-4x>x-2，即2x2-5x+2>0，所以（2x-1）（x-2）>0，解得或，所以不等式的解集为或.（2）原不等式可变形为，①当时，化简为，解得，即不等式的解集为；②当时，化简为，解得，即不等式的解集为；③当时，化简为，所以当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.22．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）由函数，满足，，解得，故函数的解析式为：.（2）由（1）知，即不等式转化为，则，所以不等式的解集或.（3）不等式转化为恒成立，因为开口向上，可得，解之可得，所以实数的取值范围是.23．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，.由韦达定理可得，解得；（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，则当时，不等式恒成立；当时，不等式对于均成立，等价于，解得，综上，可得．24．【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根.根据韦达定理，可得，.解得，.（2）由（1）知，，则不等式为，即.当时，不等式化为，解得.当时，，不等式的解为.当时，不等式化为，即，此时不等式无解.当时，，不等式的解为.综上所得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.25．【答案】（1）（2）见详解【详解】（1）由，可得对恒成立，则，解得，故的取值范围.（2）由题意可得：，令，可得或，对于不等式，则有：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.26．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【详解】（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即在上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数a的范围是27．【答案】（1）120人（2）存在，.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元，则，整理得，解得，因为且，所以，故，所以调整后的研发人员的人数最少为120人；（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得，整理得;由条件②技术人员年人均工资不减少，得，解得假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范