空间的平面和直线课件

机动目录上页下页返回结束空间平面和直线

①一、空间的平面方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面

的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束1、平面的点法式方程例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面

的方程机动目录上页下页返回结束此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束平面的三点式方程特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束2、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.机动目录上页下页返回结束例2.

求通过x

轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动目录上页下页返回结束3、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束特别有下列结论：机动目录上页下页返回结束因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动目录上页下页返回结束例6.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动目录上页下页返回结束内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束点到平面的距离公式:二、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)机动目录上页下页返回结束2.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量机动目录上页下页返回结束3.参数式方程设得参数式方程:例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.机动目录上页下页返回结束故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动目录上页下页返回结束4、线面间的位置关系(1).两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动目录上页下页返回结束特别有:例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角

的余弦为从而的方向向量为的方向向量为机动目录上页下页返回结束当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;

(2).直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿机动目录上页下页返回结束特别有:解:

取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)且与平面机动目录上页下页返回结束5、点到直线的距离设M1(x1,y1,z1)为直线L:外一点,M0(x0,y0,z0)为直线L上一点,则设d为M1到直线L的距离,则从而机动目录上页下页返回结束M0M1PSQLd平行四边形面积解：相交,求此直线方程

.的方向向量为,过A

点及L2的平

则所求直线的方向向量方法1利用叉积.面的法向量为n，因原点O在L2上,一直线过点且垂直于直线L1:

又和直线机动目录上页下页返回结束设直线Li

例4:

所以n=s2×OA==3i–3j+3kn设所求直线与L2的交点为B(x0,y0,z0),待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有机动目录上页下页返回结束s=s1×n=x0=2y0,

z0=-y0A(1,2,1)L2B(x0,y0,z0)=3(3i