2024-2025学年上海黄埔新区高一上学期开学摸底考数学综合素质试题有解析

/2024-2025学年上海市黄埔新区高一上学期开学摸底考数学综合素质检测试卷考生注意：1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分．4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．一．填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．若不等式的解集为，则a的取值集合为2．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．3．已知集合，，则4．已知，，用表示为．5．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为.6．若不等式的解集为，则实数的取值范围是.7．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是8．关于的不等式的解集是，则的解集是9．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是10．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是11．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为12．设，若时，均有成立，则实数的取值集合为二．选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）13．下列表示错误的是（

）A． B．C．= D．若则14．“”是“不等式与同解”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要15．设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题16．对任意实数给出下列命题：①“”是“”的充要条件；

②若，则；③“”是“”的充分条件；

④若，则；⑤若，则.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4三．解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）17．已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求：m的值及其对应a的取值范围．18．设关于的不等式的解集为M．(1)求M；(2)若且，求实数a的取值范围．19．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数的最小值．20．2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.21．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；(2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；(3)若为正整数，求：“完美集”.1．【分析】根据一次不等式的解决求参数即可.【详解】若不等式的解集为，则，所以，故a的取值集合.故答案为.2．存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.3．【分析】由已知，先求得，再计算集合的交集即可.【详解】因为，，所以，则.故答案为.4．【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解.【详解】因为，，所以，；所以．故答案为:.5．25【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】设两条直角边的边长分别为，则，故即，当且仅当时等号成立，故直角三角形面积的最大值为，故6．；【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．【详解】解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；综上，的取值范围为．故．本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．①②④【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；对于②，当时，满足，不满足，故②错误；对于③，由，则，即，故③正确；对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.故①②④.8．【分析】根据不等式的解集求得参数，再求目标分式不等式即可.【详解】等价于，因其解集为，故可得，且，，故可得，则，即，等价于，解得.故答案为.9．511【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.【详解】因为为正整数，所以，所以集合中共有9个元素，因此所有真子集的个数为，故答案为.10．【分析】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到，求出实数的取值范围.【详解】由解得：或，变形为，因为，所以，其中之间有1个整数解，因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个，则要满足有2023个整数值，则，解得.故答案为.11．1012【分析】由为“延安集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解.【详解】由，则，代入，即，整理得，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得，则，所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“延安集”的个数.故1012.12．【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出.【详解】当时，，则，由于的图象开口向上，则不恒成立，当时，由可解得，而方程有两个不相等的实数根且异号，所以，必定是方程的一个正根，则，，则可解得，故实数的取值集合为.故答案为.关键点点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根.13．C【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D【详解】对于A：因为空集没有任何元素，故，故A正确；对于B：因为空集是任何集合的子集，故，故B正确；对于C：表示与的交点所构成的集合，所以，故C错误；对于D：若则，故D正确；故选：C14．D【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足.【详解】取，，满足，所以即为，即为，两不等式的解集不同，故充分性不满足；不等式与不等式的解集相同，均为R，但不满足，故必要性不满足.所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.故选：D.15．D【分析】通过解方程组的知识求得正确答案.【详解】由得，则，，所以，则，解得，所以关于的方程组有唯一解.所以①为假命题，②为真命题.故选：D16．B【分析】根据不等式的基本性质，结合指数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：当时，由，显然无法得到，充分性不成立，故①是假命题；对②：取，满足，但此时，不满足，故②是假命题；对③：取，满足，但不满足，充分性不成立，取，满足，但不满足，必要性不成立，故③是假命题；对④：是上的单调增函数，故当时，，故④是真命题；对⑤：是上的单调增函数，故当时，，故⑤是真命题.综上所述，有个真命题.故选：B.17．答案见解析【分析】分，且，且三种情况，分别求得的取值，再根据求解对应的范围即可．【详解】由题可知，，时，，则，不合题意，故；由于由得，，①若，若，则，不合题意，则，当时，即，则，若，则，解得；当时，即，则，若，则，解得；②若，时，，当时，，联立解得；若，则，解得；当时，，联立解得；若，则，解得；③若，时，即，由得，，由根与系数关系得，，解得，，符合题意，若，则，解得；综上所述，当，则，当，则，当，则，当，则，当，则．18．(1)答案不唯一，具体见解析(2)a∈【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得.（2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】（1）依题意，即，当时，不等式转化为，解集为空集.当时，不等式转化为，即不等式的解集为.当时，不等式转化为，即不等式的解集为.（2）由于且，所以，解得.19．（1），当时两式相等；（2）49.【分析】（1）利用作差法，结合代数运算即可求解；（2）适当配凑后，结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果.【详解】（1）作差比较：=，所以，，当时两式相等．（2）因为，故可得，则，当且仅当，，即取得等号，故的最小值为.20．(1)100(2)存在，【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元,则,整理得,解得,因为且,所以,故,所以要使这名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,调整后的研发人员的人数最少为100人.（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得,整理得;由条件②技术人员年人均工资不减少,得,解得假设存在这样的实数,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件,即恒成立，因为,当且仅当,即时等号成立,所以,又因为,当时,取得最大值11,所以所以,即,即存在这样的满足条件,其范围为.21．(1)是，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；（3）设中，得到，分，，进行分类讨论，【详解】（1）由，，则集合是“完美集”，（2）若是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又均为正数，所以至少有一个大于2.（3）不妨设中，由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美