2025年湖北省十堰市高考数学一诊试卷【附答案】

第1页（共1页）2025年湖北省十堰市高考数学一诊试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A．， B．， C． D．，2．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是A． B． C． D．3．如图，在△中，是延长线上一点，且，则A． B． C． D．4．已知，则A． B． C． D．5．已知，且，，，的中位数为1，则A． B． C．1 D．6．已知正三棱锥的体积为，，则该三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．7．在△中，为上一点，，，则△的面积为A． B． C． D．8．已知函数，若实数、、满足，且（a）（b）（c），则的取值范围为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知虚数满足，则A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数10．（6分）已知，函数，则下列说法正确的是A．若为奇数，则是的极小值点 B．若为奇数，则是的极大值点 C．若为偶数，则是的极小值点 D．若为偶数，则是的极大值点11．（6分）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是A．曲线关于原点对称，且关于直线对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D．已知，直线与曲线交于，两点，则为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数是定义在上的奇函数，若，（3），则．13．已知，函数在，上单调递减，则的最大值为．14．由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有个．（例如122122211，212112211符合题意）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢．为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：总计喜欢401050不喜欢203050总计6040100（1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？（2）为进一步了解城市的拥堵情况，该同学从样本中城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．附表格及参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由．17．（15分）已知等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围．18．（17分）已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点．（1）求的方程；（2）已知，且直线经过点，，求直线的方程；（3）已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求△面积的最小值．19．（17分）设函数在区间上有定义，若对任意，，，都满足，则称函数在区间上为级速增函数．（1）判断函数在区间上是否为1级速增函数，说明理由；（2）若函数在区间上为2级速增函数，且（1），证明：对任意，，恒成立；（3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围．

2025年湖北省十堰市高考数学一诊试卷参考答案与试题解析题号12345678答案DCBDBDBA一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A．， B．， C． D．，解：，，不等式．所以，故，．故选：．2．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是A． B． C． D．解：选项对应的双曲线焦点在轴上，排除；选项对应的双曲线焦点在轴上且渐近线方程为；选项对应的双曲线焦点在轴上且渐近线方程为，排除．故选：．3．如图，在△中，是延长线上一点，且，则A． B． C． D．解：由，得，结合且，可得，整理得．故选：．4．已知，则A． B． C． D．解：因为，则，又，可得，所以．故选：．5．已知，且，，，的中位数为1，则A． B． C．1 D．解：，且，，，的中位数为1，由，得，，，，，的中位数为1，，当时，，，，分别为1，2，1，2，则中位数为，不符合题意；当时，由，得中位数为，解得．故选：．6．已知正三棱锥的体积为，，则该三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．解：如图，设在地面的射影为，外接球的球心为，则球心在直线上．设正三棱锥的高为，外接球的半径为，易知正三角形的面积为，所以正三棱锥的体积为，解得．球心到底面的距离为，由，得，所以外接球的表面积为．故选：．7．在△中，为上一点，，，则△的面积为A． B． C． D．解：根据，，可得．设角、、的对边分别为、、，可得，结合，化简得．根据余弦定理，可得，因为，所以，可得，所以，解得，即，所以△的面积．故选：．8．已知函数，若实数、、满足，且（a）（b）（c），则的取值范围为A． B． C． D．解：，作出函数的图象，如图所示：由图可知，（a）（b）（c），且，即，解得，即，由（a）（b），即，又因为，可得，得，即，所以．所以，故的取值范围为．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）已知虚数满足，则A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数解：设，，，由，可得，所以，，解得，则，所以的实部为的虚部为不可能为纯虚数．故选：．10．（6分）已知，函数，则下列说法正确的是A．若为奇数，则是的极小值点 B．若为奇数，则是的极大值点 C．若为偶数，则是的极小值点 D．若为偶数，则是的极大值点解：函数，则．当为奇数时，，令，，（2），且当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，故错误，正确；当为偶数时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，故正确，错误．故选：．11．（6分）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是A．曲线关于原点对称，且关于直线对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D．已知，直线与曲线交于，两点，则为定值解：若点在曲线上，易知点，均满足，所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，故选项正确；设点，，为曲线上一点，此时，因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，故选项正确；由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，所以，令，此时，可得，可得，此时△，解得，则的最大值为6，故选项错误；已知点，关于原点对称，设，，为曲线上一点，此时，且满足，则，，所以，则为定值，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数是定义在上的奇函数，若，（3），则3．解：由题可知，，（3），所以（3），即（3），因为是定义在上的奇函数，所以（3），故．故答案为：3．13．已知，函数在，上单调递减，则的最大值为10．解：，，，，又在，上单调递减，设十，则在，上单调递减，，，解得十十，又，，，当时，，；当时，，，又，故的最大值为10．故答案为：10．14．由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有174个．（例如122122211，212112211符合题意）解：由数字1，2构成一个9位的数字序列，考虑出现子序列1221时，可能出现的位置有6个，依次对应的序列放入集合，，，中，记为集合中元素的个数，则，再考虑重复的序列，，2，3，，，，2，3，，，又注意到任意多于2个集合的交集均为空集，所以含有连续子序列1221的数学序列有个．故答案为：174．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢．为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：总计喜欢401050不喜欢203050总计6040100（1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？（2）为进一步了解城市的拥堵情况，该同学从样本中城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．附表格及参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联，易知，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）若该同学从样本中城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，此时抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜欢骑“共享单车”的有2人，所以的所有可能取值为0，1，2，此时，则的分布列为：012故．16．（15分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解：（1）因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，、，2，、，0，、，2，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，易知是平面的一个法向量，所以，即平面与平面夹角的余弦值为．（2）由（1）可得，1，、，2，，，假设存在满足条件的点，设，2，，所以，因为平面，所以，解得，故当时，平面．17．（15分）已知等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，则，解得，由，可得，两式相减可得：，则，所以等比数列的公比为3．所以；（2）由（1）可得：，所以，则，所以，即，解得，由，可得，令，则，当时，，当时，，当时，，所以，所以，所以的取值范围为．18．（17分）已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点．（1）求的方程；（2）已知，且直线经过点，，求直线的方程；（3）已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求△面积的最小值．解：（1）易知抛物线的焦点，所以，解得，则的方程为；（2）设，，，，因为，，易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，，，因为，所以，所以，，解得，则直线的方程为；（3）设，，，，因为，在轴的两侧，所以直线的斜率一定存在，设，，直线的方程为，联立，消去并整理得，此时△，由韦达定理得，，解得，，设切线，的斜率分别为，，因为，所以，此时，，所以的方程为，即，同理得的方程为，联立，解得，，即，令，可得，，所以，又点到直线的距离为，则△的面积（当时，等号成立），令，设，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．故△面积的最小值为．19．（17分）设函数在区间上有定义，若对任意，，，都满足，则称函数在区间上为级速