2025年青海省海东市高考数学三模试卷【附答案】

第1页（共1页）2025年青海省海东市高考数学三模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则A． B．， C． D．2．马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如表所示，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里3．已知向量，，若与垂直，则A． B． C．3 D．24．已知点在直线上，则A． B． C． D．25．曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．6．给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列．若数列的一阶差数列的通项公式为，则A．556 B．557 C．292 D．2917．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为A． B． C． D．8．设，，，则A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知，则A． B． C． D．（多选）10．（6分）定义在上的函数满足，（1），则A． B．（8） C． D．2为的一个周期（多选）11．（6分）已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰△，△，△，△拼成，其中线段，，的中点均为点，且．若将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，直线直线，则A．的体积为 B．的表面积为 C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为 D．的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题10分，共15分．12．（10分）已知1，，，，81成等比数列，则，．13．已知复数是关于的方程的一个根，则．14．双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，△是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，，，，求的长．16．已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的方程为，求；（3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积．17．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训．①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率；②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率．参考公式与数据：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.82818．已知函数．（1）求的极值；（2）求的单调区间；（3）若，，求的取值范围．19．在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，均为常数，，，，为该平面的一个法向量．已知球的半径为4，点，，均在球的球面上，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面上平面，设截面与球球面的交线为圆为线段的中点）．（1）求点的坐标．（2）若平面，证明：平面平面．（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，，过作平面，垂足为点．①用表示点的坐标；②若，求点到平面距离的最大值；③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值．

2025年青海省海东市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCACBCAA二．多选题（共3小题）题号91011答案ABDACDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则A． B．， C． D．解：依题意，，1，2，3，，，所以，．故选：．2．马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如表所示，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里解：将跑步里程从小到大排列：210，220，248，254，300，310，共6个数据，，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为排序后的第4个数字，即为254公里．故选：．3．已知向量，，若与垂直，则A． B． C．3 D．2解：由题意可知，，又与垂直，则，解得，、，所以．故选：．4．已知点在直线上，则A． B． C． D．2解：由题意，把点代入直线方程，得，解得，所以．故选：．5．曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．解：根据题意，由，得，其导数，当时，有，切点为，则要所求切线方程为，即．故选：．6．给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列．若数列的一阶差数列的通项公式为，则A．556 B．557 C．292 D．291解：根据给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列．若数列的一阶差数列的通项公式为，可得，则，又因为，故．故选：．7．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为A． B． C． D．解：过点作垂直于直线，垂足为，以点为圆心的圆与直线相切于点．则，因为，所以，得．因为是抛物线上一点，所以，得，，则，，故圆的标准方程为．故选：．8．设，，，则A． B． C． D．解：令，，导函数，在上单调递增，（3）（e）（2），所以，而，，所以，又因为在上单调递增，因此．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知，则A． B． C． D．解：已知，对于，令，得，正确；对于，令，得，正确；对于，令，得，错误；对于，由选项，得，正确．故选：．（多选）10．（6分）定义在上的函数满足，（1），则A． B．（8） C． D．2为的一个周期解：定义在上的函数满足，（1），对于，（1），正确；对于，（8）（1），错误；对于，（1），正确．对于，由，得，则2为的一个周期，正确；故选：．（多选）11．（6分）已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰△，△，△，△拼成，其中线段，，的中点均为点，且．若将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，直线直线，则A．的体积为 B．的表面积为 C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为 D．的体积为解：如图，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，，在△中，由余弦定理可得，即，，，对于选项，该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个圆台挖去2个圆锥，其中圆台的2个底面半径分别为，，高为，圆锥的底面半径为，高为，的体积为，故选项正确；对于选项，该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个大圆锥挖去2个小圆锥，其中大圆锥的底面半径为，母线长为，高为，小圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则的表面积为2个大圆锥和2个小圆锥的侧面积组成，的表面积为，故选项错误；对于选项，该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为3的半圆，该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为的半圆，经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为，故选项错误；对于选项，由知的体积为，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题10分，共15分．12．（10分）已知1，，，，81成等比数列，则，．解：根据题意，1，，，，81成等比数列，则有，解得，．故答案为：；9．13．已知复数是关于的方程的一个根，则．解：由，得，即，所以，得．故答案为：．14．双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，△是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为．解：由题意知，是直角，因为直线的斜率为，所以①，又△的面积为，所以②，由①②得，，由双曲线的定义知，，所以，即，所以双曲线的实半轴长为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，，，，求的长．解：（1）由，根据正弦定理得，即，因为△中，，所以，结合，约分可得，；（2）在△中，，解得（舍负），由，可得，在△中，由余弦定理得．16．已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的方程为，求；（3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积．解：（1）易知椭圆的长半轴长为，短半轴长为2，半焦距为，因为圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距，所以椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，其短半轴长，则椭圆的标准方程为；（2）联立，消去并整理得，设，，，，由韦达定理得，所以；（3）由（1）知，因为四边形是矩形，所以，此时，因为．所以四边形的面积．17．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训．①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率；②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率．参考公式与数据：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）根据题意可得补全后的列联表日下：每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时351045每周的锻炼时间不超过5小时253055合计6040100零假设：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则，所以根据小概率值的独立性检验，可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关；（2）①由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人．从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，用列联表中的数据计算频率并替代概率后得，又，所以；②根据题意可得所以为．18．已知函数．（1）求的极值；（2）求的单调区间；（3）若，，求的取值范围．解：（1）的定义域为，故，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；（2），定义域为，，，当时，，无单调区间，当时，，故的单调递减区间为，，无递增区间；（3），，即，所以，其中，令，则，，若，则，其中在恒成立，故在上单调递增，所以，即，令，，则，故在上单调递增，故（1），即，所以，与取交集，故，若，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，且时，恒成立，时，恒成立，所以，满足要求，综上，，即的取值范围是，．19．在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，均为常数，，，，为该平面的一个法向量．已知球的半径为4，点，，均在球的球面上，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面上平面，设截面与球球面的交线为圆为线段的中点）．（1）求点的坐标．（2）若平面，证明：平面平面．（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，，过作平面，垂足为点．①用表示点的坐标；②若，求点