2025年大学统计学期末考试题库：统计推断与检验练习试题

2025年大学统计学期末考试题库：统计推断与检验练习试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将正确选项的字母填在答题卡上。）1.在假设检验中，第一类错误的概率通常记作（）。A.βB.αC.γD.δ2.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²已知，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验统计量是（）。A.t（n-1）B.ZC.χ²（n-1）D.F（n-1，m-1）3.从正态分布N（μ，σ²）的总体中抽取样本容量为n的样本，若要检验H₀：μ=μ₀，当样本量较小时，应选择的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验4.在假设检验中，如果接受了原假设H₀，那么（）。A.H₀一定正确B.H₀可能正确C.H₀一定错误D.以上都不对5.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²未知，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验统计量是（）。A.ZB.t（n-1）C.χ²（n-1）D.F（n-1，m-1）6.在假设检验中，第二类错误的概率通常记作（）。A.αB.βC.γD.δ7.设总体X服从二项分布B（n，p），要检验H₀：p=p₀，应选择的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验8.在假设检验中，检验的显著性水平α表示的是（）。A.H₀为真时拒绝H₀的概率B.H₀为假时拒绝H₀的概率C.H₀为真时接受H₀的概率D.H₀为假时接受H₀的概率9.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²已知，要检验H₀：μ=μ₀，当样本量较大时，应选择的检验方法是（）。A.t检验B.Z检验C.χ²检验D.F检验10.在假设检验中，如果拒绝了原假设H₀，那么（）。A.H₀一定错误B.H₀可能错误C.H₀一定正确D.以上都不对11.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²未知，要检验H₀：μ=μ₀，当样本量较小时，应选择的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验12.在假设检验中，显著性水平α的选择（）。A.只能是0.05B.只能是0.01C.可以是任意值D.只能是0.1013.设总体X服从二项分布B（n，p），要检验H₀：p=p₀，应选择的检验统计量是（）。A.t（n-1）B.ZC.χ²（n-1）D.F（n-1，m-1）14.在假设检验中，如果原假设H₀为真，但拒绝了H₀，那么犯的是（）。A.第一类错误B.第二类错误C.无错误D.无法确定15.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²未知，要检验H₀：μ=μ₀，当样本量较大时，应选择的检验方法是（）。A.t检验B.Z检验C.χ²检验D.F检验16.在假设检验中，如果接受了原假设H₀，但H₀为假，那么犯的是（）。A.第一类错误B.第二类错误C.无错误D.无法确定17.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²已知，要检验H₀：μ=μ₀，当样本量较小时，应选择的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验18.在假设检验中，检验的显著性水平α与第二类错误的概率β之间的关系是（）。A.α+β=1B.α=βC.α-β=1D.α+β<119.设总体X服从二项分布B（n，p），要检验H₀：p=p₀，当样本量较小时，应选择的检验方法是（）。A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验20.在假设检验中，如果原假设H₀为假，但接受了H₀，那么犯的是（）。A.第一类错误B.第二类错误C.无错误D.无法确定二、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在答题卡上。）1.简述假设检验的基本步骤。2.解释什么是第一类错误和第二类错误，并举例说明。3.在假设检验中，为什么显著性水平α的选择是重要的？4.设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，σ²未知，要检验H₀：μ=μ₀，简述t检验的步骤。5.在实际应用中，如何选择合适的假设检验方法？三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请将答案写在答题卡上。）1.某厂生产的灯泡寿命X（小时）服从正态分布N（μ，100²），随机抽取25个灯泡，测得样本均值为1500小时。试在显著性水平α=0.05下检验假设H₀：μ=1450。2.从一批产品中随机抽取50件，发现其中有4件次品。试用p值法检验假设H₀：p=0.05，其中p为次品率，显著性水平α=0.01。3.某医生声称一种新药可以降低血压。随机选取20名患者服用该药，测得服药前后的血压分别为（X₁,Y₁），…，（X₂₀,Y₂₀）。假设差值D=Y-X服从正态分布N（μ,σ²），检验假设H₀：μ≤0，显著性水平α=0.05。4.某学校为了比较新旧两种教学方法的效果，随机抽取100名学生，其中50人采用旧方法，50人采用新方法，考试成绩分别为X₁,…,X₅₀和Y₁,…,Y₅₀。假设X和Y分别服从正态分布N（μ₁,σ²）和N（μ₂,σ²），且方差相等，检验假设H₀：μ₁=μ₂，显著性水平α=0.05。5.某工厂生产的零件直径X服从正态分布N（μ,σ²），随机抽取9个零件，测得样本方差S²=0.04。试在显著性水平α=0.01下检验假设H₀：σ²=0.05²。四、分析题（本大题共3小题，每小题7分，共21分。请将答案写在答题卡上。）1.某公司生产的产品的合格率一直是95%。为了检验某天的生产是否正常，随机抽取100件产品，发现其中有90件合格。试在显著性水平α=0.05下检验假设H₀：p=0.95。2.某医生为了检验一种新药的效果，随机选取20名患者服用该药，测得服药前后的血压分别为（X₁,Y₁），…，（X₂₀,Y₂₀）。假设差值D=Y-X服从正态分布N（μ,σ²），检验假设H₀：μ=0，显著性水平α=0.05。3.某学校为了比较新旧两种教学方法的效果，随机抽取100名学生，其中50人采用旧方法，50人采用新方法，考试成绩分别为X₁,…,X₅₀和Y₁,…,Y₅₀。假设X和Y分别服从正态分布N（μ₁,σ²）和N（μ₂,σ²），且方差相等，检验假设H₀：μ₁=μ₂，显著性水平α=0.05。五、论述题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。请将答案写在答题卡上。）1.论述假设检验中显著性水平α的意义。2.比较t检验和Z检验的区别和适用条件。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.B解析：在假设检验中，第一类错误的概率，即犯“弃真”错误的概率，通常记作α。这是指原假设H₀为真时，却错误地拒绝了H₀的概率。2.B解析：当总体服从正态分布N（μ，σ²），且σ²已知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验统计量是Z统计量。Z统计量是基于样本均值和总体标准差计算出来的，用于衡量样本均值与假设的总体均值之间的差异程度。3.B解析：当样本量较小时，即n较小，总体标准差σ未知时，应选择t检验来检验H₀：μ=μ₀。t检验考虑了样本量的影响，并且使用样本标准差作为总体标准差的估计。4.B解析：在假设检验中，如果接受了原假设H₀，那么H₀可能正确。接受H₀并不意味着H₀一定正确，因为假设检验的结论是基于样本数据得出的，存在一定的抽样误差。但是，如果接受了H₀，那么说明没有足够的证据拒绝H₀，因此H₀有可能是正确的。5.B解析：当总体服从正态分布N（μ，σ²），且σ²未知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验统计量是t（n-1）。t统计量考虑了样本量的影响，并且使用样本标准差作为总体标准差的估计。6.B解析：在假设检验中，第二类错误的概率，即犯“取伪”错误的概率，通常记作β。这是指原假设H₀为假时，却错误地接受了H₀的概率。7.C解析：当总体服从二项分布B（n，p），要检验H₀：p=p₀，应选择的检验方法是χ²检验。χ²检验用于检验样本频率与假设频率之间的差异是否显著。8.A解析：在假设检验中，检验的显著性水平α表示的是H₀为真时拒绝H₀的概率。显著性水平α是事先设定的一个阈值，用于判断是否拒绝原假设。9.B解析：当样本量较大时，即n较大，总体标准差σ已知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验方法是Z检验。Z检验适用于大样本情况，并且总体标准差已知。10.B解析：在假设检验中，如果拒绝了原假设H₀，那么H₀可能错误。拒绝H₀意味着有足够的证据表明H₀不成立，但并不意味着H₀一定错误，因为假设检验的结论是基于样本数据得出的，存在一定的抽样误差。11.B解析：当样本量较小时，即n较小，总体标准差σ未知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验方法是t检验。t检验考虑了样本量的影响，并且使用样本标准差作为总体标准差的估计。12.C解析：在假设检验中，显著性水平α的选择可以是任意值。显著性水平α是事先设定的一个阈值，用于判断是否拒绝原假设。常见的显著性水平有0.05、0.01等，但可以根据具体情况选择其他值。13.B解析：当总体服从二项分布B（n，p），要检验H₀：p=p₀，应选择的检验统计量是Z。Z统计量基于样本比例和假设比例之间的差异计算出来，用于衡量样本比例与假设比例之间的差异程度。14.A解析：在假设检验中，如果原假设H₀为真，但拒绝了H₀，那么犯的是第一类错误。第一类错误是指犯“弃真”错误的概率，即原假设H₀为真时，却错误地拒绝了H₀。15.B解析：当样本量较大时，即n较大，总体标准差σ未知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验方法是t检验。t检验考虑了样本量的影响，并且使用样本标准差作为总体标准差的估计。16.B解析：在假设检验中，如果接受了原假设H₀，但H₀为假，那么犯的是第二类错误。第二类错误是指犯“取伪”错误的概率，即原假设H₀为假时，却错误地接受了H₀。17.A解析：当样本量较小时，即n较小，总体标准差σ已知时，要检验H₀：μ=μ₀，应选择的检验方法是Z检验。Z检验适用于大样本情况，并且总体标准差已知。18.A解析：在假设检验中，检验的显著性水平α与第二类错误的概率β之间的关系是α+β≠1。显著性水平α和第二类错误的概率β是两个独立的概率，它们之间没有简单的线性关系。19.C解析：当样本量较小时，要检验H₀：p=p₀，应选择的检验方法是χ²检验。χ²检验用于检验样本频率与假设频率之间的差异是否显著。20.B解析：在假设检验中，如果原假设H₀为假，但接受了H₀，那么犯的是第二类错误。第二类错误是指犯“取伪”错误的概率，即原假设H₀为假时，却错误地接受了H₀。二、简答题答案及解析1.简述假设检验的基本步骤解析：假设检验的基本步骤包括：-提出原假设H₀和备择假设H₁；-选择合适的检验统计量，并确定其分布；-确定显著性水平α，并根据α和检验统计量的分布确定拒绝域；-计算检验统计量的观测值，并判断是否落入拒绝域；-根据检验统计量的观测值和拒绝域，做出拒绝或接受原假设H₀的结论。2.解释什么是第一类错误和第二类错误，并举例说明解析：第一类错误是指犯“弃真”错误的概率，即原假设H₀为真时，却错误地拒绝了H₀。例如，某公司生产的产品的合格率一直是95%，为了检验某天的生产是否正常，随机抽取100件产品，发现其中有90件合格。如果假设H₀：p=0.95，但实际合格率确实为95%，却错误地拒绝了H₀，那么就犯了第一类错误。第二类错误是指犯“取伪”错误的概率，即原假设H₀为假时，却错误地接受了H₀。例如，某医生为了检验一种新药的效果，随机选取20名患者服用该药，测得服药前后的血压分别为（X₁,Y₁），…，（X₂₀,Y₂₀）。如果假设H₀：μ=0，但实际血压变化确实不为0，却错误地接受了H₀，那么就犯了第二类错误。3.在假设检验中，为什么显著性水平α的选择是重要的解析：显著性水平α的选择是重要的，因为它决定了检验的严格程度。显著性水平α是事先设定的一个阈值，用于判断是否拒绝原假设。较小的α值意味着更严格的检验，即需要更强的证据才能拒绝原假设。较大的α值意味着更宽松的检验，即更容易拒绝原假设。选择合适的α值取决于具体情况，需要权衡第一类错误和第二类错误的概率。4.设总体X服从正态分布N（μ,σ²），其中μ未知，σ²未知，要检验H₀：μ=μ₀，简述t检验的步骤解析：t检验的步骤如下：-提出原假设H₀：μ=μ₀和备择假设H₁；-计算样本均值和样本标准差；-计算t统计量的观测值，公式为t=(样本均值-假设均值)/(样本标准差/√样本量)；-确定显著性水平α，并根据α和自由度（样本量-1）确定拒绝域；-判断t统计量的观测值是否落入拒绝域；-根据t统计量的观测值和拒绝域，做出拒绝或接受原假设H₀的结论。5.在实际应用中，如何选择合适的假设检验方法解析：在实际应用中，选择合适的假设检验方法需要考虑以下因素：-总体的分布类型：如果总体服从正态分布，可以选择Z检验或t检验；如果总体不服从正态分布，可以选择非参数检验方法。-样本量的大小：如果样本量较大，可以选择Z检验；如果样本量较小，可以选择t检验。-总体标准差是否已知：如果总体标准差已知，可以选择Z检验；如果总体标准差未知，可以选择t检验。-检验的目的：如果检验的是均值，可以选择Z检验或t检验；如果检验的是比例，可以选择Z检验或χ²检验。三、计算题答案及解析1.某厂生产的灯泡寿命X（小时）服从正态分布N（μ,100²），随机抽取25个灯泡，测得样本均值为1500小时。试在显著性水平α=0.05下检验假设H₀：μ=1450。解析：由于总体服从正态分布，且总体标准差已知，选择Z检验。-提出原假设H₀：μ=1450和备择假设H₁：μ≠1450；-计算Z统计量的观测值，公式为Z=(样本均值-假设均值)/(总体标准差/√样本量)；-计算Z统计量的观测值，Z=(1500-1450)/(100/√25)=2.5；-确定显著性水平α=0.05，双侧检验的拒绝域为Z<-1.96或Z>1.96；-判断Z统计量的观测值是否落入拒绝域，2.5>1.96，落入拒绝域；-拒绝原假设H₀，即认为灯泡寿命的均值与1450小时有显著差异。2.从一批产品中随机抽取50件，发现其中有4件次品。试用p值法检验假设H₀：p=0.05，其中p为次品率，显著性水平α=0.01。解析：由于总体服从二项分布，选择χ²检验。-提出原假设H₀：p=0.05和备择假设H₁：p≠0.05；-计算样本次品率，p=4/50=0.08；-计算χ²统计量的观测值，公式为χ²=(n₀-p₀)^2/p₀+(n₁-p₁)^2/p₁，其中n₀为假设次品数，n₁为实际次品数；-计算χ²统计量的观测值，χ²=(50*0.05-4)^2/0.05+(50*0.95-46)^2/0.95=1.053；-确定显著性水平α=0.01，双侧检验的拒绝域为χ²>6.635；-判断χ²统计量的观测值是否落入拒绝域，1.053<6.635，未落入拒绝域；-接受原假设H₀，即认为次品率与0.05没有显著差异。3.某医生声称一种新药可以降低血压。随机选取20名患者服用该药，测得服药前后的血压分别为（X₁,Y₁），…，（X₂₀,Y₂₀）。假设差值D=Y-X服从正态分布N（μ,σ²），检验假设H₀：μ≤0，显著性水平α=0.05。解析：由于差值D服从正态分布，选择t检验。-提出原假设H₀：μ≤0和备择假设H₁：μ>0；-计算样本差值的均值和标准差；-计算t统计量的观测值，公式为t=(样本均值-假设均值)/(样本标准差/√样本量)；-确定显著性水平α=0.05，单侧检验的拒绝域为t>1.725；-判断t统计量的观测值是否落入拒绝域；-根据t统计量的观测值和拒绝域，做出拒绝或接受原假设H₀的结论。4.某学校为了比较新旧两种教学方法的效果，随机抽取100名学生，其中50人采用旧方法，50人采用新方法，考试成绩分别为X₁,…,X₅₀和Y₁,…,Y₅₀。假设X和Y分别服从正态分布N（μ₁,σ²）和N（μ₂,σ²），且方差相等，检验假设H₀：μ₁=μ₂，显著性水平α=0.05。解析：由于两个总体服从正态分布，且方差相等，选择t检验。-提出原假设H₀：μ₁=μ₂和备择假设H₁：μ₁≠μ₂；-计算两个样本的均值和标准差；-计算合并方差，公式为S_p²=(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²/(n₁+n₂-2)；-计算t统计量的观测值，公式为t=(样本均值₁-样本均值₂)/(S_p√(1/n₁+1/n₂))；-确定显著性水平α=0.05，双侧检验的拒绝域为t<-2.009或t>2.009；-判断t统计量的观测值是否落入拒绝域；-根据t统计量的观测值和拒绝域，做出拒绝或接受原假设H₀的结论。5.某工厂生产的零件直径X服从正态分布N（μ,σ²），随机抽取9个零件，测得样本方差S²=0.04。试在显著性水平α=0.01下检验假设H₀：σ²=0.05²。解析：由于总体服从正态分布，选择χ²检验。-提出原假设H₀：σ²=0.05²和备择假设H₁：σ²≠0.05²；-计算χ²统计量的观测值，公式为χ²=(n-1)S²/σ₀²；-计算χ²统计量的观测值，χ²=(9-1)0.04/0.05²=12.8；-确定显著性水平α=0.01，双侧检验的拒绝域为χ²>21.955或χ²<2.088；-判断χ²统计量的观测值是否落入拒绝域，12.8<21.955且12.8>2.088，未落入拒绝域；-接受原假设H₀，即认为零件直径的方差与0.05²没有显著差异。四、分析题答案及解析1.某公司生产的产品的合格率一直是95%。为了检验某天的生产是否正常，随机抽取100件产品，发现其中有90件合格。试在显著性水平α=0.05下检验假设H₀：p=0.95。解析：由于总体服从二项分布，选择χ²检验。-提出原假设H₀：p=0.95和备择假设H₁：p≠0.95；-计算样本次品率，p=90/100=0.9；-计算χ²统计量的观测值，公式为χ²=(n₀-p₀)^2/p₀+(n₁-p₁)^2/p₁，其中n₀为假设合格数，n₁为实际合格数；-计算χ²统计量的观测值，χ²=(100*0.95-90)^2/0.95+(100*0.05-10)^2/0.05=2.026；-确定显著性水平α=0.05，双侧检验的拒绝域为χ²>3.841；-判断χ²统计量的观测值是否落入拒绝域，2.026<3.841，未落入拒绝域；-接受原假设H₀，即认为次品率与0.95没有显著差异。2.某医生为了检验一种新药的效果，随机选取20名患者服用该药，测得服药前后的血压分别为（X₁,Y₁），…，（X₂₀,Y₂₀）。假设差值D=Y-X服从正态分布N（μ,σ²），检验假设H₀：μ=0，显著性水平α=0.05。解析：由于差值D服从正态分布，选择t检验。-提出原假设H₀：μ=0和备择假设H₁：μ≠0；-计算样本差值的均值和标准差；-计算t统计量的观测值，公式为t=(样本均值-假设均值)/(样本标准差/√样本量)；-确定显著性水平α=0.05，双侧检验的拒绝域为t<-2.086或t>2.086；-判断t统计量的观测值是否落入拒绝域；-根据t统计量的观测值和拒绝域，做出拒绝或接受原假设H₀的结论。3.某学校为了比较新旧两种教学方法的效果，随机抽取100名学生，其中50人采用旧方法，50人采用新方法，考试成绩分别为X₁,…,X₅₀和Y₁,…,Y₅₀。假设X和Y分别服从正态分布N（μ₁,σ²）和N（μ₂,σ²），且方差相等，检验假设H₀：μ₁=μ₂，显著性水平α=0.05。解析：由于两个总体服从正态分布，且方差相等，选择t检验。-