小学数学竞赛专项训练教材

引言：探索数的奥秘——数论的魅力在小学数学的广阔天地中，数论宛如一座蕴藏着无尽宝藏的宫殿，它以整数为研究对象，探索数与数之间的奇妙关系。从古老的质数之谜到日常生活中的分配问题，数论的身影无处不在。对于小学阶段的竞赛而言，数论知识不仅是拉开差距的关键，更是培养逻辑思维、抽象概括能力的绝佳途径。本专项将带你初步领略数论的魅力，掌握解决常见数论问题的核心方法与技巧。一、核心知识点梳理与解读（一）整除的概念与基本性质1.整除的定义若整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说a能被b整除，或者说b能整除a，记作b|a。此时，a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。*理解要点：*整除是在整数范围内讨论的概念，除数不能为0。*“a能被b整除”与“b能整除a”表述不同，但含义一致。*0是任何非零整数的倍数（因为0除以任何非零整数都得0，余数为0）。2.整除的基本性质掌握这些性质，能帮助我们快速判断整除关系或进行推理：*性质1（传递性）：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。即：若b|a，c|b，则c|a。**例如*：因为6|12，2|6，所以2|12。*性质2（可加性与可减性）：如果a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。即：若c|a，c|b，则c|(a±b)。**例如*：15能被5整除，25也能被5整除，那么15+25=40能被5整除，25-15=10也能被5整除。*性质3（可乘性）：如果a能被b整除，那么a与任何整数c的乘积ac也能被b整除。即：若b|a，则b|ac。**例如*：因为3|6，所以3|6×4=24。*性质4：如果a能同时被b和c整除，且b和c互质（即b与c的最大公约数是1），那么a能被b与c的乘积bc整除。即：若b|a，c|a，且(b,c)=1，则bc|a。**例如*：12能被4整除，12能被3整除，且4与3互质，所以12能被4×3=12整除。（二）常见数的整除特征熟练掌握以下数的整除特征，能极大提高我们解决数论问题的效率。*能被2整除的数：个位数字是0、2、4、6、8的整数。*能被5整除的数：个位数字是0或5的整数。*能被4（或25）整除的数：一个整数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。**例如*：124的末两位是24，24能被4整除，所以124能被4整除；375的末两位是75，75能被25整除，所以375能被25整除。*能被8（或125）整除的数：一个整数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。**例如*：1104的末三位是104，104能被8整除，所以1104能被8整除；1375的末三位是375，375能被125整除，所以1375能被125整除。*能被3（或9）整除的数：一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。**例如*：123的各位数字之和是1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除；1233的各位数字之和是1+2+3+3=9，9能被9整除，所以1233能被9整除。*能被11整除的数：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数（包括0），这个数就能被11整除。**例如*：121，奇数位数字和1+1=2，偶数位数字和2，2-2=0，0是11的倍数，所以121能被11整除；1353，奇数位数字和1+5=6，偶数位数字和3+3=6，6-6=0，所以1353能被11整除。（三）质数与合数*质数（素数）：一个大于1的自然数，如果除了1和它本身以外，不再有其他的约数，这个数就叫做质数。**例如*：2、3、5、7、11等。最小的质数是2，也是唯一的偶质数。*合数：一个大于1的自然数，如果除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫做合数。**例如*：4、6、8、9、10等。最小的合数是4。*1：1既不是质数也不是合数。质数的判断：对于一个较小的自然数n（n>1），如果它不能被2、3、5、7……等小于或等于√n的质数整除，那么n就是质数。质因数分解：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：12=2×2×3。分解质因数是解决许多数论问题的重要方法。（四）最大公约数与最小公倍数*公约数与最大公约数（GCD）：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。*公倍数与最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。*互质数：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。例如：5和7是互质数，8和9是互质数。求最大公约数和最小公倍数的方法：1.列举法：分别列出各数的约数（或倍数），再找出它们的最大公约数（或最小公倍数）。适用于较小的数。2.分解质因数法：*最大公约数：把各数分解质因数后，取它们所有公有的质因数的最低次幂相乘。*最小公倍数：把各数分解质因数后，取它们所有的质因数的最高次幂相乘。3.短除法：这是一种常用的高效方法。用这几个数公有的质因数连续去除这几个数，直到所得的商两两互质为止。*所有除数的乘积就是这几个数的最大公约数。*所有除数和最后所得商的乘积就是这几个数的最小公倍数。重要关系：对于任意两个正整数a、b，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)。二、例题精讲例1：五位数A329B能被72整除，求A和B的值。分析与解答：要使A329B能被72整除，因为72=8×9，且8和9互质，根据整除性质4，这个数必须同时能被8和9整除。*先考虑能被8整除：一个数能被8整除，看它的末三位数。这个数的末三位是29B，所以29B能被8整除。290÷8=36……2，290+(8-2)=296，296÷8=37，所以B=6。*再考虑能被9整除：一个数能被9整除，它的各位数字之和能被9整除。各位数字之和为A+3+2+9+B=A+3+2+9+6=A+20。A是一个数位上的数字，所以A可以是1-9中的一个（因为是五位数，A不能为0）。A+20能被9整除，20÷9=2……2，所以A+2必须能被9整除。A只能是7（7+2=9）。*验证：A=7，B=6，这个五位数是____。____÷8=9162，____÷9=8144，____÷72=1018，符合题意。所以，A=7，B=6。例2：一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，求这两个质数的积。分析与解答：设这两个质数分别为x和y。根据题意可得方程：3x+2y=100。我们需要找出满足这个方程的质数x和y。观察方程：2y是偶数，100是偶数，所以3x也必须是偶数（因为偶数+偶数=偶数）。3是奇数，奇数×偶数=偶数，所以x必须是偶数。在所有质数中，只有2是偶数。因此，x=2。将x=2代入方程：3×2+2y=100→6+2y=100→2y=94→y=47。47是一个质数，符合题意。所以这两个质数是2和47，它们的积是2×47=94。例3：有一些糖果，平均分给6个小朋友多5颗，平均分给7个小朋友多6颗，平均分给8个小朋友多7颗。这些糖果至少有多少颗？分析与解答：题目可以理解为：这些糖果，平均分给6个小朋友少1颗（5=6-1），平均分给7个小朋友少1颗（6=7-1），平均分给8个小朋友少1颗（7=8-1）。也就是说，如果糖果的数量再多1颗，那么就正好能被6、7、8整除。因此，糖果总数+1是6、7、8的公倍数。要求“至少有多少颗”，就是求6、7、8的最小公倍数，然后减去1。*求6、7、8的最小公倍数LCM：用分解质因数法：6=2×37=78=2×2×2=2³最小公倍数取各质因数的最高次幂：2³×3×7=8×3×7=168。*糖果总数：168-1=167颗。*验证：167÷6=27……5，167÷7=23……6，167÷8=20……7，符合题意。所以，这些糖果至少有167颗。三、巩固练习1.四位数1□2□能同时被3和5整除，求出所有满足条件的四位数。2.两个质数的和是39，求这两个质数的积。3.已知两个数的最大公约数是12，最小公倍数是72，其中一个数是24，求另一个数。4.某校五年级学生人数在100至150人之间。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分组，也多3人。该校五年级有多少名学生？（答案见文末）四、总结与提示数论是小学数学竞赛中的重要组成部分，它不仅考察我们对数字特性的理解，更注重逻辑推理和灵活运用知识的能力。本章我们学习了整除的概念与性质、常见数的整除特征、质数与合数以及最大公约数与最小公倍数等核心知识点。这些知识如同打开数论大门的钥匙，需要我们在理解的基础上熟练记忆，并通过大量练习加以巩固和灵活运用。在解决数论问题时，建议：1.仔细审题：明确题目所给条件和要求，判断题目涉及的是哪个或哪些数论知识点。2.灵活运用整除特征：这是快速缩小范围、找到突破口的常用方法。3.善用分解质因数：许多关于最大公约数、最小公倍数以及质数合数的问题，都可以通过分解质因数来解决。4.注重逻辑推理：数论问题往往需要严谨的推理过程，从已知条件出发，逐步推导，得出结论。5.多做练习，归纳总结：接触不同类型的题目，总结解题方法和技巧，才能在竞赛中应对自如。记住，数学的魅力在于探索与思考，每解决一个难题，你对数学的理解就会更深一层。加油！---巩固练习答案：1.能同时被3和5整除，个位只能是0或5。*个位是0：1+□+2+0=3+□能被3整除，□可填0、3、6、9→1020,1320,1620,1920。*个位是5：1+□+2+5=8+□能被3整除，□可填1、4、7→1125,1425,1725。所以满足条件的四位数有：1020,1320,1620,1