2025年统计学期末考试题库：统计推断与检验在数据分析中的应用试题

2025年统计学期末考试题库：统计推断与检验在数据分析中的应用试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在假设检验中，如果原假设为真，但拒绝了原假设，那么这种错误被称为（）。A.第二类错误B.第一类错误C.标准误差D.假设误差2.设总体服从正态分布，总体方差未知，要检验总体均值是否显著大于某个值，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.F检验D.卡方检验3.在一个样本容量为30的样本中，样本均值为50，样本标准差为10，要检验总体均值是否等于55，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验4.设总体服从正态分布，总体方差已知，要检验总体均值是否等于某个值，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验5.在假设检验中，显著性水平α表示的是（）。A.第一类错误的概率B.第二类错误的概率C.标准误差D.假设误差6.设总体服从正态分布，总体方差未知，要检验总体均值是否显著小于某个值，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验7.在一个样本容量为50的样本中，样本均值为100，样本标准差为15，要检验总体均值是否等于110，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验8.设总体服从正态分布，总体方差已知，要检验总体均值是否显著大于某个值，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验9.在假设检验中，如果原假设为假，但接受了原假设，那么这种错误被称为（）。A.第二类错误B.第一类错误C.标准误差D.假设误差10.设总体服从正态分布，总体方差未知，要检验总体均值是否显著大于某个值，应该使用（）。A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将答案填写在答题纸上对应的位置。）1.在假设检验中，原假设通常用表示，备择假设通常用表示。2.设总体服从正态分布，总体方差已知，要检验总体均值是否等于某个值，应该使用检验，其检验统计量为。3.在假设检验中，显著性水平α表示的是错误的概率。4.设总体服从正态分布，总体方差未知，要检验总体均值是否等于某个值，应该使用检验，其检验统计量为。5.在假设检验中，如果原假设为真，但拒绝了原假设，那么这种错误被称为错误，其概率用表示。三、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填写在答题纸上对应的位置。）1.请简述假设检验的基本步骤。在课堂上，我经常跟大家说，做假设检验就像是在法庭上打官司。首先，你得有一个明确的“原告”（原假设），还有一个可能的“被告”（备择假设）。然后，你要收集证据，也就是样本数据，并计算出检验统计量。接着，你要设定一个“门槛”（显著性水平α），看看你的证据是否足够“有力”来证明“被告”有罪（即拒绝原假设）。最后，根据计算出的统计量和“门槛”，你就要做出判决了：要么有罪（拒绝原假设），要么无罪（不能拒绝原假设）。当然，这个过程可能会有误判，就像法律一样，我们不能保证百分之百的准确，但我们要尽量减少错误。2.请解释什么是第一类错误和第二类错误。记得有一次，我拿着两个乌鸦给大家上课，一个说“所有的鸟都会飞”，这是我们的原假设，另一个说“有的鸟不会飞”，这是备择假设。如果我们根据证据（比如企鹅、鸵鸟）推翻了“所有的鸟都会飞”的原假设，那我们就犯了第一类错误，也叫“弃真错误”，因为我们错误地拒绝了实际上为真的原假设。反之，如果我们没有根据证据推翻原假设，但实际上“所有的鸟都会飞”是假的（比如发现了不会飞的鸟），那我们就犯了第二类错误，也叫“取伪错误”，因为我们错误地接受了实际上为假的原假设。这两种错误是相伴相生的，减小一种错误往往会增大另一种错误，就像跷跷板一样。3.请说明在什么情况下使用Z检验，在什么情况下使用t检验。这其实很简单，关键就看总体方差是不是已知。如果总体方差是已知的，那我们就像有了现成的尺子，可以直接用Z检验来衡量样本均值和总体均值之间的差距。但现实往往更骨感，很多时候总体方差是未知的，这时候我们就得“曲线救国”，用样本方差来估计，然后使用t检验。t检验就像是个灵活的尺子，虽然不够精确，但好在可以在没有现成尺子的情况下测量出个大概。当然，当样本量很大时，t检验和Z检验的结果差别不大，因为样本量大了，样本方差就越来越接近总体方差了。4.请解释什么是p值。p值啊，这个概念很重要，也是很多同学容易混淆的地方。简单来说，p值就是在我们假设原假设为真的情况下，观察到当前样本结果或者更极端结果的概率。你可以把它想象成一种“运气”值，如果这个值很小，就说明你的样本结果很“难得”，很难在原假设为真的情况下观察到，因此你有理由怀疑原假设的真实性。通常，如果p值小于显著性水平α，我们就拒绝原假设；如果p值大于等于α，我们就不能拒绝原假设。就像玩骰子，如果你掷出了六个点，并且你事先假设每个点出现的概率都是1/6，那么掷出六个点的概率（p值）就是1/6。如果你觉得掷出六个点的概率太小，说明你的骰子可能不是均匀的，那么你就有理由怀疑骰子的均匀性（即拒绝原假设）。5.请举例说明假设检验在实际数据分析中的应用。假设检验在实际数据分析中的应用非常广泛，就像是我们数据分析的“火眼金睛”，可以帮助我们看穿数据的真相。比如，一个制药公司新开发了一种药物，他们想知道这种药物是否真的比现有的药物更有效。这时候，他们就可以进行一个假设检验，原假设是新药和现有药效果一样，备择假设是新药效果更好。他们可以招募一些病人，随机分成两组，一组服用新药，一组服用现有药，然后观察他们的治疗效果。根据收集到的数据，他们就可以使用假设检验来判断新药是否真的更有效。再比如，一个电商公司想知道他们的新网站设计是否真的可以提高用户的转化率。他们可以随机展示新旧两个网站给不同的用户，然后观察他们的转化率。根据收集到的数据，他们就可以使用假设检验来判断新网站设计是否真的可以提高用户的转化率。这些例子都说明了假设检验在实际数据分析中的重要作用，它可以帮助我们做出更科学的决策。四、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。请将答案填写在答题纸上对应的位置。）1.某灯泡厂生产的灯泡寿命服从正态分布，总体方差为10000小时^2。现随机抽取50个灯泡，测得样本均值为1500小时。问：在显著性水平α=0.05下，能否认为该厂生产的灯泡寿命显著高于1400小时？这题啊，首先要明确题目中的信息，灯泡寿命服从正态分布，总体方差已知，样本均值和样本容量也给出了。然后，我们要根据题目中的问题，建立假设。原假设是灯泡寿命不显著高于1400小时，备择假设是灯泡寿命显著高于1400小时。因为总体方差已知，所以我们应该使用Z检验。接下来，我们要计算检验统计量Z的值。根据Z检验的公式，Z=(样本均值-总体均值)/(总体标准差/样本均值的平方根)。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到Z的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.05，查找Z分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的Z值和临界值进行比较，如果Z值大于临界值，我们就拒绝原假设，认为灯泡寿命显著高于1400小时；如果Z值小于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为灯泡寿命不显著高于1400小时。2.某大学想了解学生们的平均睡眠时间是否显著低于8小时。随机抽取100名学生，测得样本均值为7.5小时，样本标准差为1小时。问：在显著性水平α=0.01下，能否认为该大学学生们的平均睡眠时间显著低于8小时？这题和上一题类似，但这次总体方差是未知的，所以我们应该使用t检验。首先，我们要建立假设。原假设是学生们的平均睡眠时间不显著低于8小时，备择假设是学生们的平均睡眠时间显著低于8小时。因为总体方差未知，所以我们应该使用t检验。接下来，我们要计算检验统计量t的值。根据t检验的公式，t=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/样本均值的平方根)。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到t的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.01和样本容量n=100，查找t分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的t值和临界值进行比较，如果t值小于临界值，我们就拒绝原假设，认为学生们的平均睡眠时间显著低于8小时；如果t值大于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为学生们的平均睡眠时间不显著低于8小时。3.某公司想比较两种不同的广告策略对销售量的影响。随机选取100个顾客，其中50个顾客接受第一种广告策略，50个顾客接受第二种广告策略。两种广告策略下的销售量数据如下：第一种广告策略：销售量样本均值=150，样本标准差=20；第二种广告策略：销售量样本均值=145，样本标准差=25。问：在显著性水平α=0.05下，能否认为两种广告策略对销售量有显著差异？这题啊，我们要比较两种广告策略对销售量的影响，所以我们应该使用两个样本t检验。首先，我们要建立假设。原假设是两种广告策略对销售量没有显著差异，备择假设是两种广告策略对销售量有显著差异。因为总体方差未知，所以我们应该使用两个样本t检验。接下来，我们要计算检验统计量t的值。根据两个样本t检验的公式，t=(样本均值1-样本均值2)/sqrt((样本方差1/n1)+(样本方差2/n2))。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到t的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.05和两个样本的样本容量n1=n2=50，查找t分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的t值和临界值进行比较，如果t值大于临界值，我们就拒绝原假设，认为两种广告策略对销售量有显著差异；如果t值小于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为两种广告策略对销售量没有显著差异。4.某学校想了解男生和女生的平均身高是否有显著差异。随机抽取100名男生和100名女生，测得男生身高样本均值=175厘米，样本标准差=10厘米；女生身高样本均值=165厘米，样本标准差=8厘米。问：在显著性水平α=0.01下，能否认为男生和女生的平均身高有显著差异？这题啊，我们要比较男生和女生的平均身高是否有显著差异，所以我们应该使用两个样本t检验。首先，我们要建立假设。原假设是男生和女生的平均身高没有显著差异，备择假设是男生和女生的平均身高有显著差异。因为总体方差未知，所以我们应该使用两个样本t检验。接下来，我们要计算检验统计量t的值。根据两个样本t检验的公式，t=(样本均值1-样本均值2)/sqrt((样本方差1/n1)+(样本方差2/n2))。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到t的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.01和两个样本的样本容量n1=n2=100，查找t分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的t值和临界值进行比较，如果t值大于临界值，我们就拒绝原假设，认为男生和女生的平均身高有显著差异；如果t值小于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为男生和女生的平均身高没有显著差异。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.B解析：在假设检验中，如果原假设为真，但拒绝了原假设，这种错误被称为第一类错误，也称为弃真错误。这是因为在原假设为真的情况下，我们错误地得出了拒绝原假设的结论。2.B解析：当总体服从正态分布，但总体方差未知时，我们应该使用t检验来检验总体均值是否显著大于某个值。这是因为t检验可以有效地处理样本标准差未知的情况。3.B解析：在这个问题中，总体方差未知，样本容量为30，属于小样本情况，因此应该使用t检验来检验总体均值是否等于55。4.A解析：当总体服从正态分布，且总体方差已知时，我们应该使用Z检验来检验总体均值是否等于某个值。这是因为Z检验可以有效地处理总体方差已知的情况。5.A解析：显著性水平α表示的是犯第一类错误的概率，即原假设为真时拒绝原假设的概率。这是假设检验中的一个重要概念，它决定了我们愿意承担的犯错误的风险。6.B解析：当总体服从正态分布，但总体方差未知时，我们应该使用t检验来检验总体均值是否显著小于某个值。这与第2题和第3题的解析思路相同。7.B解析：在这个问题中，总体方差未知，样本容量为50，虽然样本量不算特别小，但由于总体方差未知，我们仍然应该使用t检验来检验总体均值是否等于110。8.A解析：当总体服从正态分布，且总体方差已知时，我们应该使用Z检验来检验总体均值是否显著大于某个值。这与第4题的解析思路相同。9.A解析：在假设检验中，如果原假设为假，但接受了原假设，这种错误被称为第二类错误，也称为取伪错误。这是因为在原假设为假的情况下，我们错误地得出了接受原假设的结论。10.B解析：当总体服从正态分布，但总体方差未知时，我们应该使用t检验来检验总体均值是否显著大于某个值。这与前面的几题解析思路相同。二、填空题答案及解析1.H0,H1解析：在假设检验中，原假设通常用H0表示，备择假设通常用H1表示。这是假设检验中的标准表示方法。2.Z,Z=(样本均值-总体均值)/(总体标准差/sqrt(样本容量))解析：当总体服从正态分布，且总体方差已知时，我们应该使用Z检验来检验总体均值是否等于某个值。Z检验的检验统计量公式如上所示。3.第一类解析：显著性水平α表示的是犯第一类错误的概率，即原假设为真时拒绝原假设的概率。4.t,t=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/sqrt(样本容量))解析：当总体服从正态分布，但总体方差未知时，我们应该使用t检验来检验总体均值是否等于某个值。t检验的检验统计量公式如上所示。5.第一类,α解析：在假设检验中，如果原假设为真，但拒绝了原假设，这种错误被称为第一类错误，其概率用α表示。三、简答题答案及解析1.假设检验的基本步骤包括：提出原假设和备择假设；选择合适的检验统计量；确定显著性水平；计算检验统计量的值；根据检验统计量的值和临界值做出决策；解释检验结果的实际意义。解析：假设检验的基本步骤就像是在法庭上打官司的过程。首先，你需要有一个明确的“原告”（原假设）和一个可能的“被告”（备择假设）。然后，你要收集证据（样本数据），并计算出检验统计量。接着，你要设定一个“门槛”（显著性水平α），看看你的证据是否足够“有力”来证明“被告”有罪（即拒绝原假设）。最后，根据计算出的统计量和“门槛”，你就要做出判决了：要么有罪（拒绝原假设），要么无罪（不能拒绝原假设）。在这个过程中，可能会有误判，就像法律一样，我们不能保证百分之百的准确，但我们要尽量减少错误。2.第一类错误是指在原假设为真的情况下，我们错误地拒绝了原假设。第二类错误是指在原假设为假的情况下，我们错误地接受了原假设。解析：就像我拿着两个乌鸦给大家上课那样，一个说“所有的鸟都会飞”，这是我们的原假设，另一个说“有的鸟不会飞”，这是备择假设。如果我们根据证据（比如企鹅、鸵鸟）推翻了“所有的鸟都会飞”的原假设，那我们就犯了第一类错误，也叫“弃真错误”，因为我们错误地拒绝了实际上为真的原假设。反之，如果我们没有根据证据推翻原假设，但实际上“所有的鸟都会飞”是假的（比如发现了不会飞的鸟），那我们就犯了第二类错误，也叫“取伪错误”，因为我们错误地接受了实际上为假的原假设。这两种错误是相伴相生的，减小一种错误往往会增大另一种错误，就像跷跷板一样。3.当总体方差已知时，我们应该使用Z检验来检验总体均值是否等于某个值。当总体方差未知时，我们应该使用t检验来检验总体均值是否等于某个值。解析：这其实很简单，关键就看总体方差是不是已知。如果总体方差是已知的，那我们就像有了现成的尺子，可以直接用Z检验来衡量样本均值和总体均值之间的差距。但现实往往更骨感，很多时候总体方差是未知的，这时候我们就得“曲线救国”，用样本方差来估计，然后使用t检验。t检验就像是个灵活的尺子，虽然不够精确，但好在可以在没有现成尺子的情况下测量出个大概。当然，当样本量很大时，t检验和Z检验的结果差别不大，因为样本量大了，样本方差就越来越接近总体方差了。4.p值是在我们假设原假设为真的情况下，观察到当前样本结果或者更极端结果的概率。解析：p值啊，这个概念很重要，也是很多同学容易混淆的地方。简单来说，p值就是在我们假设原假设为真的情况下，观察到当前样本结果或者更极端结果的概率。你可以把它想象成一种“运气”值，如果这个值很小，就说明你的样本结果很“难得”，很难在原假设为真的情况下观察到，因此你有理由怀疑原假设的真实性。通常，如果p值小于显著性水平α，我们就拒绝原假设；如果p值大于等于α，我们就不能拒绝原假设。就像玩骰子，如果你掷出了六个点，并且你事先假设每个点出现的概率都是1/6，那么掷出六个点的概率（p值）就是1/6。如果你觉得掷出六个点的概率太小，说明你的骰子可能不是均匀的，那么你就有理由怀疑骰子的均匀性（即拒绝原假设）。5.假设检验在实际数据分析中的应用非常广泛，就像是我们数据分析的“火眼金睛”，可以帮助我们看穿数据的真相。例如，制药公司可以使用假设检验来判断新药是否真的比现有药物更有效；电商公司可以使用假设检验来判断新网站设计是否真的可以提高用户的转化率。解析：假设检验在实际数据分析中的应用非常广泛，就像是我们数据分析的“火眼金睛”，可以帮助我们看穿数据的真相。比如，一个制药公司新开发了一种药物，他们想知道这种药物是否真的比现有的药物更有效。这时候，他们就可以进行一个假设检验，原假设是新药和现有药效果一样，备择假设是新药效果更好。他们可以招募一些病人，随机分成两组，一组服用新药，一组服用现有药，然后观察他们的治疗效果。根据收集到的数据，他们就可以使用假设检验来判断新药是否真的更有效。再比如，一个电商公司想知道他们的新网站设计是否真的可以提高用户的转化率。他们可以随机展示新旧两个网站给不同的用户，然后观察他们的转化率。根据收集到的数据，他们就可以使用假设检验来判断新网站设计是否真的可以提高用户的转化率。这些例子都说明了假设检验在实际数据分析中的重要作用，它可以帮助我们做出更科学的决策。四、计算题答案及解析1.检验统计量Z=(1500-1400)/(100/sqrt(50))=10/(100/7.071)=10/14.142=0.707。查Z分布表，α=0.05时，临界值为1.96。因为0.707<1.96，所以不能拒绝原假设，认为该厂生产的灯泡寿命不显著高于1400小时。解析：首先，我们要明确题目中的信息，灯泡寿命服从正态分布，总体方差为10000小时^2，样本均值为1500小时，样本容量为50。然后，我们要根据题目中的问题，建立假设。原假设是灯泡寿命不显著高于1400小时，备择假设是灯泡寿命显著高于1400小时。因为总体方差已知，所以我们应该使用Z检验。接下来，我们要计算检验统计量Z的值。根据Z检验的公式，Z=(样本均值-总体均值)/(总体标准差/样本均值的平方根)。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到Z的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.05，查找Z分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的Z值和临界值进行比较，如果Z值大于临界值，我们就拒绝原假设，认为灯泡寿命显著高于1400小时；如果Z值小于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为灯泡寿命不显著高于1400小时。2.检验统计量t=(7.5-8)/(1/sqrt(100))=-0.5/(1/10)=-0.5/0.1=-5。查t分布表，α=0.01，自由度df=99，临界值为-2.626。因为-5<-2.626，所以拒绝原假设，认为该大学学生们的平均睡眠时间显著低于8小时。解析：首先，我们要明确题目中的信息，学生们的平均睡眠时间服从正态分布，样本均值为7.5小时，样本标准差为1小时，样本容量为100。然后，我们要根据题目中的问题，建立假设。原假设是学生们的平均睡眠时间不显著低于8小时，备择假设是学生们的平均睡眠时间显著低于8小时。因为总体方差未知，所以我们应该使用t检验。接下来，我们要计算检验统计量t的值。根据t检验的公式，t=(样本均值-总体均值)/(样本标准差/样本均值的平方根)。将题目中给出的数据代入公式，我们可以得到t的值。然后，我们要根据显著性水平α=0.01和样本容量n=100，查找t分布表，得到临界值。最后，我们将计算出的t值和临界值进行比较，如果t值小于临界值，我们就拒绝原假设，认为学生们的平均睡眠时间显著低于8小时；如果t值大于等于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为学生们的平均睡眠时间不显著低于8小时。3.检验统计量t=(150-145)/sqrt((20^2/50)+(25^2/50))=5/sqrt(80+125)=5/sqrt(205)=5/14.317=0.349。查t分布表，α=0.05，自由度df=98，临界值为1.984。因为0.349<1.984，所以不能拒绝原假设，认为两种广告策略对销售量没有显著差异。解析：首先，我们要明确题目中的信息，两种广告策略下的销售量数据如下：第一种广告策略，销售量样本均值=150，样本标准差=20，样本容量为50；第二种广告策略，