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文档简介
二叉搜索树中插入与删除操作详解一、概述
二叉搜索树（BinarySearchTree，BST）是一种基于键值有序存储的树形数据结构，其中每个节点的左子树仅包含键值小于该节点的节点，右子树仅包含键值大于该节点的节点。二叉搜索树的插入和删除操作是维护其有序性的关键，以下将详细说明这两种操作的具体步骤和实现方法。
二、二叉搜索树的插入操作
（一）插入步骤
1.创建新节点：生成一个包含键值的新节点，并初始化其左右子节点为空。
2.空树插入：如果二叉搜索树为空，则新节点成为根节点。
3.非空树插入：
（1）从根节点开始，比较新节点的键值与当前节点的键值。
（2）如果新节点的键值小于当前节点的键值，则移动到左子节点；否则移动到右子节点。
（3）重复步骤（2），直到找到空子节点位置，将新节点插入该位置。
（二）示例
假设插入键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]到空二叉搜索树中：
1.插入8，树为空，8成为根节点。
2.插入3，小于8，插入为左子节点。
3.插入10，大于8，插入为右子节点。
4.插入1，小于8且小于3，插入为3的左子节点。
5.插入6，大于3且小于8，插入为3的右子节点。
6.插入14，大于8且大于10，插入为10的右子节点。
7.插入4，大于3且小于6，插入为6的左子节点。
8.插入7，大于6且小于8，插入为6的右子节点。
9.插入13，大于10且小于14，插入为14的左子节点。
三、二叉搜索树的删除操作
（一）删除步骤
1.查找目标节点：通过遍历二叉搜索树定位待删除节点。
2.删除节点分类：
（1）叶节点：直接删除节点，父节点的对应子节点指针置为空。
（2）单子节点：删除节点后，用其子节点替代该节点位置。
（3）双子节点：
a.找到待删除节点的中序后继（右子树的最小节点）或中序前驱（左子树的最大节点）。
b.将后继/前驱的键值替换到待删除节点。
c.删除后继/前驱节点（此时变为单子节点或叶节点，可按前述规则处理）。
（二）示例
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的7：
1.查找节点7，发现其左右子节点均存在。
2.找到节点7的右子树最小节点13（中序后继）。
3.将13的键值替换到节点7，节点7变为13。
4.删除原节点13，其为叶节点，直接删除。
（三）边界情况处理
1.根节点删除：删除根节点后，选择新的根节点（如中序后继）替代。
2.空树删除：无操作。
3.未找到节点：返回删除失败提示。
四、插入与删除的效率分析
（一）插入操作
-时间复杂度：平均O(logn)，最坏O(n)（树退化成链表）。
-空间复杂度：O(n)，用于存储树节点。
（二）删除操作
-时间复杂度：平均O(logn)，最坏O(n)。
-空间复杂度：O(logn)，递归栈或迭代过程中的临时变量。
五、总结
二叉搜索树的插入和删除操作通过维护节点间的键值有序性，保证了树的搜索效率。正确处理不同类型的节点（叶节点、单子节点、双子节点）是确保树结构完整性的关键。在实际应用中，可通过平衡二叉搜索树（如AVL树、红黑树）进一步优化性能。
一、概述
二叉搜索树（BinarySearchTree，BST）是一种基于键值有序存储的树形数据结构，其中每个节点的左子树仅包含键值小于该节点的节点，右子树仅包含键值大于该节点的节点。二叉搜索树的插入和删除操作是维护其有序性的关键，以下将详细说明这两种操作的具体步骤和实现方法。二叉搜索树的性质是其所有操作的基础，必须首先明确：
（一）二叉搜索树的性质
1.对于任何节点N，N的左子树中所有节点的键值均小于N的键值。
2.对于任何节点N，N的右子树中所有节点的键值均大于N的键值。
3.左子树和右子树本身也必须是一棵二叉搜索树。
4.没有重复的键值节点（根据具体实现，通常允许或禁止重复）。
二、二叉搜索树的插入操作
（一）插入步骤
1.创建新节点：生成一个包含键值的新节点，并初始化其左右子节点指针为`null`（或空指针）。节点通常还包含其他字段，如数据值、左右子节点引用等。
示例代码片段（伪代码）：
```
NodenewNode=newNode(keyValue);
newNode.left=null;
newNode.right=null;
```
2.空树插入：如果二叉搜索树当前为空（根节点为`null`），则新节点成为根节点。
操作步骤：
（1）检查根节点是否为`null`。
（2）如果为`null`，将新节点赋值给根节点。
```
if(root==null){
root=newNode;
}
```
3.非空树插入：如果二叉搜索树不为空，则按照键值大小关系逐层查找插入位置。
（1）初始化当前节点为根节点。
（2）比较新节点的键值与当前节点的键值。
（3）如果新节点的键值小于当前节点的键值：
-如果当前节点的左子节点为`null`，则将新节点插入为当前节点的左子节点。
-如果当前节点的左子节点不为`null`，则将当前节点更新为其左子节点，并返回步骤（2）。
（4）如果新节点的键值大于或等于当前节点的键值（根据是否允许重复键值处理）：
-如果允许重复，且键值等于当前节点，可以选择插入到左或右（例如，统一插入左子树）。
-如果不允许重复，且键值等于当前节点，则不插入并返回。
-如果当前节点的右子节点为`null`，则将新节点插入为当前节点的右子节点。
-如果当前节点的右子节点不为`null`，则将当前节点更新为其右子节点，并返回步骤（2）。
```
Nodecurrent=root;
Nodeparent=null;//用于记录父节点
while(current!=null){
parent=current;
if(newNode.keyValue<current.keyValue){
current=current.left;
}elseif(newNode.keyValue>current.keyValue){//或者处理等于的情况
current=current.right;
}else{
//键值已存在，根据需求处理（例如插入左子树）
current=current.left;
}
}
//current==null时，parent是插入位置
if(newNode.keyValue<parent.keyValue){
parent.left=newNode;
}else{
parent.right=newNode;
}
```
（二）示例
假设插入键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]到空二叉搜索树中，并展示每一步的树结构变化：
1.插入8：树为空，8成为根节点。
```
8
```
2.插入3，小于8，插入为8的左子节点。
```
8
/
3
```
3.插入10，大于8，插入为8的右子节点。
```
8
/\
310
```
4.插入1，小于8且小于3，插入为3的左子节点。
```
8
/\
310
/
1
```
5.插入6，大于3且小于8，插入为3的右子节点。
```
8
/\
310
/\
16
```
6.插入14，大于8且大于10，插入为10的右子节点。
```
8
/\
310
/\
16
\
14
```
7.插入4，大于3且小于6，插入为6的左子节点。
```
8
/\
310
/\
16
//
414
```
8.插入7，大于6且小于8，插入为6的右子节点。
```
8
/\
310
/\
16
//\
4714
```
9.插入13，大于10且小于14，插入为14的左子节点。
```
8
/\
310
/\
16
//\
4714
\/
13
```
三、二叉搜索树的删除操作
（一）删除步骤
删除操作相对复杂，需要根据待删除节点的子节点情况分情况处理。主要步骤如下：
1.查找目标节点：通过遍历二叉搜索树定位待删除节点（记为`targetNode`）。
-使用递归或迭代方式，比较键值并沿左或右子树查找。
-同时记录`targetNode`的父节点（记为`parentNode`）。
2.确定节点类型并执行删除：根据`targetNode`的子节点数量进行分类处理。
（1）删除叶节点（无子节点）：
a.检查`targetNode`是否为左子节点（`parentNode.left==targetNode`）。
b.如果是，将`parentNode.left`指针置为`null`。
c.如果不是，将`parentNode.right`指针置为`null`。
d.删除`targetNode`占用的内存空间（在编程语言中）。
（2）删除单子节点（一个子节点）：
a.检查`targetNode`有一个左子节点或右子节点。
b.假设`targetNode`有左子节点（右子节点逻辑相同）：
-将`targetNode`的左子节点提升到`targetNode`的位置。
-更新`parentNode`的对应指针（左或右）指向`targetNode`的左子节点。
c.假设`targetNode`有右子节点：
-将`targetNode`的右子节点提升到`targetNode`的位置。
-更新`parentNode`的对应指针指向`targetNode`的右子节点。
d.删除`targetNode`占用的内存空间。
（3）删除双子节点（左右子节点均存在）：
a.寻找中序后继：
-中序后继是`targetNode`右子树中的最小节点（即最左侧节点）。
-从`targetNode.right`开始，不断向左移动，直到到达最左侧节点（`inorderSuccessor`）。
-记录`inorderSuccessor`的父节点（`inorderSuccessorParent`）。
b.寻找中序前驱（作为替代方案）：
-中序前驱是`targetNode`左子树中的最大节点（即最右侧节点）。
-从`targetNode.left`开始，不断向右移动，直到到达最右侧节点（`inorderPredecessor`）。
-记录`inorderPredecessor`的父节点（`inorderPredecessorParent`）。
c.替换键值：
-选择中序后继或中序前驱（通常选择后继，因为前驱可能需要同时处理其右子树）。
-将`inorderSuccessor.keyValue`的值复制到`targetNode.keyValue`。
d.删除原后继节点：
-`inorderSuccessor`节点现在成为叶节点或单子节点（因为它取代了`targetNode`的位置，其原来的子节点现在直接挂在`inorderSuccessor`下）。
-根据其子节点情况执行删除叶节点或单子节点的操作（步骤（1）或（2））。
3.更新根节点（如果需要）：如果删除的是根节点，则根节点指针需要指向新的树根（通常由步骤（2）c中的替换操作间接完成）。
4.返回结果：返回删除成功或未找到节点的指示。
（二）示例
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的7：
1.查找节点7：
-从根节点8开始，7小于8，移动到3。
-7大于3，移动到6。
-7大于6，移动到7节点，找到目标节点。
-记录父节点为6。
2.确定节点类型：节点7是叶节点（无子节点）。
3.执行删除：
-检查`parentNode`（6）的右子节点是否为`targetNode`（7）。是。
-将`parentNode.right`指针置为`null`（即`6.right=null`）。
-删除节点7占用的内存空间。
4.结果树结构（对比删除前）：
```
8
/\
310
/\
16
//\
4714
\/
13
```
删除节点7后：
```
8
/\
310
/\
16
//
414
/
13
```
（三）示例（双子节点删除）
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的8（根节点）：
1.查找节点8：
-根节点就是8，`parentNode`为`null`。
2.确定节点类型：节点8是双子节点（左子节点3和右子节点10）。
3.寻找中序后继：
-从`targetNode.right`（节点10）开始，向左移动到节点13。
-`inorderSuccessor`是13，`inorderSuccessorParent`是10。
4.替换键值：
-将13的键值复制到8：`8.keyValue=13`。
5.删除原后继节点13：
-节点13现在是叶节点（原右子节点14直接挂在13下，但13作为右子节点被删除）。
-将`inorderSuccessorParent.right`指针置为`null`（即`10.right=null`）。
6.更新根节点：新的根节点是8（现在包含键值13）。
7.结果树结构：
-删除前：
```
8
/\
310
/\
16
//\
4714
\/
13
```
-删除后：
```
13
/\
310
/\
16
//\
4714
```
（四）边界情况处理
1.根节点删除：
-需要找到新的根节点（通常为中序后继或前驱），并将根节点指针指向该节点。
-如果新根节点有子节点，需要将其移动到原树中。
2.空树删除：
-无法删除，返回删除失败或空操作。
3.未找到节点：
-遍历完成后未找到指定键值的节点，返回删除失败。
4.删除不存在的键值：
-与未找到节点情况相同。
5.删除导致树结构严重退化：
-虽然二叉搜索树删除操作不会自平衡，但如果连续删除导致树高度接近线性，性能会下降。在实际应用中可结合AVL树或红黑树等自平衡二叉搜索树。
四、插入与删除的效率分析
（一）插入操作
-时间复杂度：
-平均情况：O(logn)，树相对平衡时，每次插入只需遍历树的高度。
-最坏情况：O(n)，树完全退化成链表，每次插入需要遍历所有节点。
-影响因素：树的高度。
-空间复杂度：
-O(n)，用于存储树中的所有节点。
-递归实现时，空间复杂度为O(h)，h为树的高度。
-优化方法：
-确保插入顺序尽量随机，避免构建极端不平衡的树。
-使用自平衡二叉搜索树。
（二）删除操作
-时间复杂度：
-平均情况：O(logn)，查找目标节点和中序后继/前驱的时间复杂度均为O(logn)。
-最坏情况：O(n)，与查找和删除操作相关的节点数量接近n（例如删除根节点及其所有子节点）。
-影响因素：树的平衡性。
-空间复杂度：
-O(logn)，主要来自递归调用栈或迭代过程中的临时变量。
-优化方法：
-与插入类似，保持树的平衡。
-使用自平衡二叉搜索树。
五、总结
二叉搜索树的插入和删除操作是维护其有序性的核心机制。插入操作通过比较键值大小逐层查找空位置完成，而删除操作则根据节点子节点数量分情况处理，双子节点删除通常通过中序后继/前驱替换实现。正确处理各种边界情况是确保操作正确性的关键。虽然基本的二叉搜索树在极端情况下效率会下降，但通过使用自平衡变体（如AVL树、红黑树），可以保证其操作时间复杂度始终为O(logn)，使其在动态数据集中仍具有很高的实用价值。理解并熟练掌握这两种操作，是深入学习和应用二叉搜索树的基础。
一、概述
二叉搜索树（BinarySearchTree，BST）是一种基于键值有序存储的树形数据结构，其中每个节点的左子树仅包含键值小于该节点的节点，右子树仅包含键值大于该节点的节点。二叉搜索树的插入和删除操作是维护其有序性的关键，以下将详细说明这两种操作的具体步骤和实现方法。
二、二叉搜索树的插入操作
（一）插入步骤
1.创建新节点：生成一个包含键值的新节点，并初始化其左右子节点为空。
2.空树插入：如果二叉搜索树为空，则新节点成为根节点。
3.非空树插入：
（1）从根节点开始，比较新节点的键值与当前节点的键值。
（2）如果新节点的键值小于当前节点的键值，则移动到左子节点；否则移动到右子节点。
（3）重复步骤（2），直到找到空子节点位置，将新节点插入该位置。
（二）示例
假设插入键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]到空二叉搜索树中：
1.插入8，树为空，8成为根节点。
2.插入3，小于8，插入为左子节点。
3.插入10，大于8，插入为右子节点。
4.插入1，小于8且小于3，插入为3的左子节点。
5.插入6，大于3且小于8，插入为3的右子节点。
6.插入14，大于8且大于10，插入为10的右子节点。
7.插入4，大于3且小于6，插入为6的左子节点。
8.插入7，大于6且小于8，插入为6的右子节点。
9.插入13，大于10且小于14，插入为14的左子节点。
三、二叉搜索树的删除操作
（一）删除步骤
1.查找目标节点：通过遍历二叉搜索树定位待删除节点。
2.删除节点分类：
（1）叶节点：直接删除节点，父节点的对应子节点指针置为空。
（2）单子节点：删除节点后，用其子节点替代该节点位置。
（3）双子节点：
a.找到待删除节点的中序后继（右子树的最小节点）或中序前驱（左子树的最大节点）。
b.将后继/前驱的键值替换到待删除节点。
c.删除后继/前驱节点（此时变为单子节点或叶节点，可按前述规则处理）。
（二）示例
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的7：
1.查找节点7，发现其左右子节点均存在。
2.找到节点7的右子树最小节点13（中序后继）。
3.将13的键值替换到节点7，节点7变为13。
4.删除原节点13，其为叶节点，直接删除。
（三）边界情况处理
1.根节点删除：删除根节点后，选择新的根节点（如中序后继）替代。
2.空树删除：无操作。
3.未找到节点：返回删除失败提示。
四、插入与删除的效率分析
（一）插入操作
-时间复杂度：平均O(logn)，最坏O(n)（树退化成链表）。
-空间复杂度：O(n)，用于存储树节点。
（二）删除操作
-时间复杂度：平均O(logn)，最坏O(n)。
-空间复杂度：O(logn)，递归栈或迭代过程中的临时变量。
五、总结
二叉搜索树的插入和删除操作通过维护节点间的键值有序性，保证了树的搜索效率。正确处理不同类型的节点（叶节点、单子节点、双子节点）是确保树结构完整性的关键。在实际应用中，可通过平衡二叉搜索树（如AVL树、红黑树）进一步优化性能。
一、概述
二叉搜索树（BinarySearchTree，BST）是一种基于键值有序存储的树形数据结构，其中每个节点的左子树仅包含键值小于该节点的节点，右子树仅包含键值大于该节点的节点。二叉搜索树的插入和删除操作是维护其有序性的关键，以下将详细说明这两种操作的具体步骤和实现方法。二叉搜索树的性质是其所有操作的基础，必须首先明确：
（一）二叉搜索树的性质
1.对于任何节点N，N的左子树中所有节点的键值均小于N的键值。
2.对于任何节点N，N的右子树中所有节点的键值均大于N的键值。
3.左子树和右子树本身也必须是一棵二叉搜索树。
4.没有重复的键值节点（根据具体实现，通常允许或禁止重复）。
二、二叉搜索树的插入操作
（一）插入步骤
1.创建新节点：生成一个包含键值的新节点，并初始化其左右子节点指针为`null`（或空指针）。节点通常还包含其他字段，如数据值、左右子节点引用等。
示例代码片段（伪代码）：
```
NodenewNode=newNode(keyValue);
newNode.left=null;
newNode.right=null;
```
2.空树插入：如果二叉搜索树当前为空（根节点为`null`），则新节点成为根节点。
操作步骤：
（1）检查根节点是否为`null`。
（2）如果为`null`，将新节点赋值给根节点。
```
if(root==null){
root=newNode;
}
```
3.非空树插入：如果二叉搜索树不为空，则按照键值大小关系逐层查找插入位置。
（1）初始化当前节点为根节点。
（2）比较新节点的键值与当前节点的键值。
（3）如果新节点的键值小于当前节点的键值：
-如果当前节点的左子节点为`null`，则将新节点插入为当前节点的左子节点。
-如果当前节点的左子节点不为`null`，则将当前节点更新为其左子节点，并返回步骤（2）。
（4）如果新节点的键值大于或等于当前节点的键值（根据是否允许重复键值处理）：
-如果允许重复，且键值等于当前节点，可以选择插入到左或右（例如，统一插入左子树）。
-如果不允许重复，且键值等于当前节点，则不插入并返回。
-如果当前节点的右子节点为`null`，则将新节点插入为当前节点的右子节点。
-如果当前节点的右子节点不为`null`，则将当前节点更新为其右子节点，并返回步骤（2）。
```
Nodecurrent=root;
Nodeparent=null;//用于记录父节点
while(current!=null){
parent=current;
if(newNode.keyValue<current.keyValue){
current=current.left;
}elseif(newNode.keyValue>current.keyValue){//或者处理等于的情况
current=current.right;
}else{
//键值已存在，根据需求处理（例如插入左子树）
current=current.left;
}
}
//current==null时，parent是插入位置
if(newNode.keyValue<parent.keyValue){
parent.left=newNode;
}else{
parent.right=newNode;
}
```
（二）示例
假设插入键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]到空二叉搜索树中，并展示每一步的树结构变化：
1.插入8：树为空，8成为根节点。
```
8
```
2.插入3，小于8，插入为8的左子节点。
```
8
/
3
```
3.插入10，大于8，插入为8的右子节点。
```
8
/\
310
```
4.插入1，小于8且小于3，插入为3的左子节点。
```
8
/\
310
/
1
```
5.插入6，大于3且小于8，插入为3的右子节点。
```
8
/\
310
/\
16
```
6.插入14，大于8且大于10，插入为10的右子节点。
```
8
/\
310
/\
16
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14
```
7.插入4，大于3且小于6，插入为6的左子节点。
```
8
/\
310
/\
16
//
414
```
8.插入7，大于6且小于8，插入为6的右子节点。
```
8
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310
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16
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4714
```
9.插入13，大于10且小于14，插入为14的左子节点。
```
8
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310
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三、二叉搜索树的删除操作
（一）删除步骤
删除操作相对复杂，需要根据待删除节点的子节点情况分情况处理。主要步骤如下：
1.查找目标节点：通过遍历二叉搜索树定位待删除节点（记为`targetNode`）。
-使用递归或迭代方式，比较键值并沿左或右子树查找。
-同时记录`targetNode`的父节点（记为`parentNode`）。
2.确定节点类型并执行删除：根据`targetNode`的子节点数量进行分类处理。
（1）删除叶节点（无子节点）：
a.检查`targetNode`是否为左子节点（`parentNode.left==targetNode`）。
b.如果是，将`parentNode.left`指针置为`null`。
c.如果不是，将`parentNode.right`指针置为`null`。
d.删除`targetNode`占用的内存空间（在编程语言中）。
（2）删除单子节点（一个子节点）：
a.检查`targetNode`有一个左子节点或右子节点。
b.假设`targetNode`有左子节点（右子节点逻辑相同）：
-将`targetNode`的左子节点提升到`targetNode`的位置。
-更新`parentNode`的对应指针（左或右）指向`targetNode`的左子节点。
c.假设`targetNode`有右子节点：
-将`targetNode`的右子节点提升到`targetNode`的位置。
-更新`parentNode`的对应指针指向`targetNode`的右子节点。
d.删除`targetNode`占用的内存空间。
（3）删除双子节点（左右子节点均存在）：
a.寻找中序后继：
-中序后继是`targetNode`右子树中的最小节点（即最左侧节点）。
-从`targetNode.right`开始，不断向左移动，直到到达最左侧节点（`inorderSuccessor`）。
-记录`inorderSuccessor`的父节点（`inorderSuccessorParent`）。
b.寻找中序前驱（作为替代方案）：
-中序前驱是`targetNode`左子树中的最大节点（即最右侧节点）。
-从`targetNode.left`开始，不断向右移动，直到到达最右侧节点（`inorderPredecessor`）。
-记录`inorderPredecessor`的父节点（`inorderPredecessorParent`）。
c.替换键值：
-选择中序后继或中序前驱（通常选择后继，因为前驱可能需要同时处理其右子树）。
-将`inorderSuccessor.keyValue`的值复制到`targetNode.keyValue`。
d.删除原后继节点：
-`inorderSuccessor`节点现在成为叶节点或单子节点（因为它取代了`targetNode`的位置，其原来的子节点现在直接挂在`inorderSuccessor`下）。
-根据其子节点情况执行删除叶节点或单子节点的操作（步骤（1）或（2））。
3.更新根节点（如果需要）：如果删除的是根节点，则根节点指针需要指向新的树根（通常由步骤（2）c中的替换操作间接完成）。
4.返回结果：返回删除成功或未找到节点的指示。
（二）示例
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的7：
1.查找节点7：
-从根节点8开始，7小于8，移动到3。
-7大于3，移动到6。
-7大于6，移动到7节点，找到目标节点。
-记录父节点为6。
2.确定节点类型：节点7是叶节点（无子节点）。
3.执行删除：
-检查`parentNode`（6）的右子节点是否为`targetNode`（7）。是。
-将`parentNode.right`指针置为`null`（即`6.right=null`）。
-删除节点7占用的内存空间。
4.结果树结构（对比删除前）：
```
8
/\
310
/\
16
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4714
\/
13
```
删除节点7后：
```
8
/\
310
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16
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414
/
13
```
（三）示例（双子节点删除）
假设删除键值序列[8,3,10,1,6,14,4,7,13]中的8（根节点）：
1.查找节点8：
-根节点就是8，`parentNode`为`null`。
2.确定节点类型：节点8是双子节点（左子节点3和右子节点10）。
3.寻找中序后继：
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