第三节　不等式性质及应用-2026版-高考数学一轮总复习

第三节不等式性质及应用1.会比较两个数（式）的大小.2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.（多选）下列命题为真命题的是（

）B.若

a

＞

b

＞0，则

a

2＞

b

2C.若

a

＜

b

＜0，则

a

2＜

ab

＜

b

2解析：

C中，若

a

＝－2，

b

＝－1，则

a

2＞

ab

＞

b

2，故

C错误.2.（多选）设

a

，

b

，

c

，

d

为实数，且

a

＞

b

＞0＞

c

＞

d

，则下列不

等式正确的是（

）A.

c

2＜

cd

B.

a

－

c

＜

b

－

d

C.

ac

＞

bd

4.设

M

＝

x

2＋

y

2＋1，

N

＝2（

x

＋

y

－1），则

M

与

N

的大小关系

为

⁠.解析：

M

－

N

＝

x

2＋

y

2＋1－2

x

－2

y

＋2＝（

x

－1）2＋（

y

－1）2

＋1＞0.故

M

＞

N

.

＜

M

＞

N

5.已知－1＜

a

＜2，－3＜

b

＜5，则

a

＋2

b

的取值范围是

⁠

⁠.解析：∵－3＜

b

＜5，∴－6＜2

b

＜10，又－1＜

a

＜2，∴－7＜

a

＋2

b

＜12.（－7，

12）

（多选）下列命题中正确的是（

）A.若

a

＜

b

，则

ac

2＜

bc

2C.若

a

＞

b

，

c

＞

d

，则

a

－

c

＞

b

－

d

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

比较两个数（式）的大小

A.

A

≤

B

B.

A

≥

B

C.

A

＜

B

D.

A

＞

B

A.

p

＜

q

B.

p

≤

q

C

.

p

＞

q

D.

p

≥

q

A.

a

＜

b

＜

c

B.

c

＜

b

＜

a

C.

c

＜

a

＜

b

D.

b

＜

a

＜

c

练后悟通比较大小的常用方法（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得

出结论.（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.不等式的基本性质【例1】

（1）（2024·珠海模拟）已知

a

，

b

∈R，满足

ab

＜0，

a

＋

b

＞0，

a

＞

b

，则（

）C.

a

2＞

b

2D.

a

＜｜

b

｜

B.

｜

a

｜＋

b

＞0D.ln

a

2＞ln

b

2

解题技法判断不等式的常用方法（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等

式是否成立时要特别注意前提条件；（2）利用特殊值法排除错误答案；（3）利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小

时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.

1.已知

x

，

y

∈R，且

x

＋

y

＞0，则（

）B.

x

3＋

y

3＞0C.lg（

x

＋

y

）＞0D.sin（

x

＋

y

）＞0

2.（多选）已知

a

＞

b

＞

c

，

ac

＞0，则下列关系式一定成立的是

（

）A.

c

2＞

bc

B.

bc

（

a

－

c

）＞0C.

a

＋

b

＞

c

不等式性质的应用【例2】

（教材题改编）已知－1＜

x

＜4，2＜

y

＜3，则

x

－

y

的取值

范围是

，3

x

＋2

y

的取值范围是

⁠.（－4，2）

（1，18）

解析：因为－1＜

x

＜4，2＜

y

＜3，所以－3＜－

y

＜－2，所以－4＜

x

－

y

＜2.由－3＜3

x

＜12，4＜2

y

＜6，得1＜3

x

＋2

y

＜18.

解题技法

利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是

必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能

扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的

整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解.

（－2，0）

2.已知－1＜

x

－

y

＜4，2＜

x

＋

y

＜3，则3

x

＋2

y

的取值范围为

⁠.

PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

A.

m

≥

n

B.

m

＞

n

C.

m

≤

n

D.

m

＜

n

123456789101112131415162.已知

a

＋

b

＜0，且

a

＞0，则（

）A.

a

2＜－

ab

＜

b

2B.

b

2＜－

ab

＜

a

2C.

a

2＜

b

2＜－

ab

D.

－

ab

＜

b

2＜

a

2解析：

法一

由

a

＋

b

＜0，且

a

＞0可得

b

＜0，且

a

＜－

b

.因为

a

2－（－

ab

）＝

a

（

a

＋

b

）＜0，所以0＜

a

2＜－

ab

.又因为0＜

a

＜

－

b

，所以0＜－

ab

＜（－

b

）2，所以0＜

a

2＜－

ab

＜

b

2，故选A.法二

令

a

＝1，

b

＝－2，则

a

2＝1，－

ab

＝2，

b

2＝4，从而

a

2＜－

ab

＜

b

2，故选A.12345678910111213141516

A.

p

≥

q

B.

p

≤

q

C.

p

＞

q

D.

p

＜

q

12345678910111213141516

123456789101112131415164.（2024·襄阳一模）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是

每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含

150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索

的长度

x

（单位：厘米）应满足的不等式为（

）

123456789101112131415165.（2024·济宁模拟）已知

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，则下列不等式成

立的是（

）A.

xy

＞

yz

B.

xy

＞

xz

C.

xz

＞

yz

D.

x

｜

y

｜＞｜

y

｜

z

解析：

因为

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，所以

x

＞0，

z

＜0，

y

的符

号无法确定，对于A，因为

x

＞0＞

z

，若

y

＜0，则

xy

＜0＜

yz

，故A

错误；对于B，因为

y

＞

z

，

x

＞0，所以

xy

＞

xz

，故B正确；对于

C，因为

x

＞

y

，

z

＜0，所以

xz

＜

yz

，故C错误；对于D，因为

x

＞

z

，当｜

y

｜＝0时，

x

｜

y

｜＝｜

y

｜

z

，故D错误.123456789101112131415166.（多选）已知

a

＞

b

≥2，则（

）A.

b

2＜3

b

－

a

B.

a

3＋

b

3＞

a

2

b

＋

ab

2C.

ab

＞

a

＋

b

123456789101112131415167.已知

p

：

a

＞｜

b

｜，

q

：

a

2＞

b

2，则

p

是

q

的

条件.解析：当

a

＞｜

b

｜时，易得

a

＞｜

b

｜≥0，故

a

2＞

b

2，充分性成

立；当

a

2＞

b

2时，则｜

a

｜＞｜

b

｜，当

a

＞0时，

a

＞｜

b

｜，当

a

＜0时，－

a

＞｜

b

｜，必要性不成立.故

p

是

q

的充分不必要条件.充分不必要12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151610.已知

x

，

y

∈R，且

x

＞

y

＞0，则（

）B.sin

x

－sin

y

＞0D.ln

x

＋ln

y

＞012345678910111213141516

1234567891011121314151611.（多选）设

a

，

b

为正实数，下列命题正确的有（

）A.若

a

2－

b

2＝1，则

a

－

b

＜1D.若｜

a

3－

b

3｜＝1，则｜

a

－

b

｜＜1123456789101112131415