【课件】乘法公式++课件++2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3乘法公式16.3.1平方差公式1.了解并掌握平方差公式及其几何意义.（重点）2.会应用平方差公式进行计算.（难点）多项式与多项式相乘单项式与多项式相乘转化

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加.1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(x+1)(x-1)=_________=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____________=_____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.

x·x-x+x-1x2

-1

m·m-2m+2m-4m2

-4=m2

-222x·2x-2x+2x-14x2

-1=(2x)2

-12

=x2

-12

对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即

=－(a+b)(a-b)a2b2(a-b)(a+b)你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？a2b2

1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

1.平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b(

)A．是数或单个字母B．是单项式C．是多项式D．是单项式或多项式D2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2a＋b)(－2a＋b)B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b)D．(a＋b2)(a2－b)A3.计算：(1)（5x+y)(5x-y)=

.

(2)(-3a+2b)(-3a-2b)=

.

4.若a=2025²，b=2024×2026，则a与b的数量关系为

.a=b+1

内容平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2注意2.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用定义配方法通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.

步骤应用求代数式的最值或证明16.3.2完全平方公式第1课时

完全平方公式1.掌握完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义.（重点）2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.（难点）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=__________=_________；p2+2p+1(2)(m+2)2=___________=_________；m2+4m+4(3)(p-1)2=__________=_________；p2-2p+1(4)(m-2)2=__________=_________；m2-4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)(p-1)(p-1)(m-2)(m-2)m2+2×2m+22m2-2×2m+22p2+2p+12p2-2p+12上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘.(a+b)2＝(a+b)(a+b)

＝a2+ab+ab+b2

＝a2+2ab+b2(a-b)2＝(a-b)(a-b)

＝a2-ab-ab+b2

＝a2-2ab+b2对于与前面相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.公式特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.

解：(1)

(4m+n)2

=(4m)2+2·4m·n+n2

=16m2+8mn+n2

；

(2)

992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=9801.解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.例3

若a+b=5,ab=-6,

求a2+b2,a2-ab+b2.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?①(a+b)2与(-a-b)2相等.理由:(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.②(a-b)2与(b-a)2相等.理由:(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2.③(a-b)2与a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.1．若x2＋6x＋k是两数和(差)的平方公式，则k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±3A2．下列变形中，错误的是(

)

①(b－4c)2＝b2－16c2；

②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；

③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；

④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④A3.下列计算正确的是(

)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D4.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于(

)A．2B．1C．－2D．－1B5.利用两数和(差)的平方公式计算：(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)＝x2－6xy＋9y2.＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.(2)20182－4036×2017＋20172;

6．若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.求：(1)xy的值；(2)x2＋3xy＋y2的值．解:（1）(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y)＋4＝12.

因为x＋y＝3，

所以xy＋2×3＋4＝12.

所以xy＝2.（2）因为x＋y＝3，xy＝2，

所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－4＝5.

所以x2＋3xy＋y2＝5＋3×2＝11.内容完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.完全平方公式的应用常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.16.3.2完全平方公式第2课时

添括号法则1.了解并掌握添括号法则.（重点）2.熟练应用添括号法则进行计算.（难点）已经学过的去括号法则是什么？去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.根据去括号法则填空：a+(b+c)=_______；

a-

(b+c)=_______；a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-

(b+c)

.a+b+ca-b-c

运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，将上面两个算式反过来是不是就可以得到添括号的法则？☀归纳

添括号法则:添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-

(b+c).例1

运用乘法公式计算：(1)

(x+2y-3)(x-2y+3)；

(2)

(a+b+c)2

.

解：(1)

(x+2y-3)(x-2y+3)

=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9；

☀注意

有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.(2)(a+b+c)2

=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

☀注意

(1)在使用添括号法则时，要明确括到括号里的是哪些项，括号前面的符号是正号还是负号；(2)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的，在学习添括号法则时，可与去括号法则相比较，注意不要只改变括号内部分项的符号；(3)添括号比去括号容易出错，特别是当括号前添“-”号时，添括号后是否正确，可利用去括号法则检验.在横线上填上适当的式子．(1)9－2a＋5b2＝9－(______________)；(2)x2－y2－x－y＝x