第03讲 函数的概念与性质（10类核心考点精讲精练）原卷版

第03讲函数的概念与性质（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年秋考2、4题分段函数、函数的奇偶性2023秋考5、18题2023春考13题函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方程的应用函数的奇偶性2022秋考12题2022春考13题抽象函数的性质应用函数的定义域及其求法2021年秋考13、21题2021年春考20题基本初等函数单调性与奇偶性的判断、函数恒成立函数定义域、零点与方程根的关系、函数单调性的判定及其应用2020年春考6、21题函数奇偶性及其应用、抽象函数的性质及其应用2.命题规律及备考策略【备考策略】函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求所以,我们应该掌握一些简单的基本方法。2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点,几乎每年都会考,一般与指数，对数结合起来命题知识讲解1.函数的概念设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个函数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作y＝f(x)，x∈D.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.6.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值7.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称8.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.考点一．函数的定义域及其求法1．（2024•松江区二模）函数的定义域为．2．（2024•黄浦区校级三模）函数的定义域为．3．（2024•松江区校级模拟）若函数的定义域为，且，则实数的值为．4．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为．考点二．函数的值域5．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，则对任意实数，函数的值域是A． B．， C．， D．，6．（2024•嘉定区二模）函数的值域为．7．（2024•松江区校级模拟）函数在，上的值域为，则的值为．8．（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域为，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围为．考点三．函数的图象与图象的变换9．（2023•闵行区校级三模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为A． B． C． D．10．（2023•徐汇区校级三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是．11．（2023•黄浦区模拟）设，，，，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是A．， B．， C．， D．，12．（2024•杨浦区校级三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，则．考点四．函数单调性的性质与判断13．（2024•崇明区二模）已知函数的定义域为，，．命题：若当时，都有，则函数是上的奇函数．命题：若当时，都有，则函数是上的增函数．下列说法正确的是A．、都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．、都是假命题14．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数，则的解集是．15．（2023•杨浦区校级三模）已知函数，设、2、为实数，且，给出下列结论：①若，则；②若，则．则A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误16．（2024•闵行区校级三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”．（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有（2）性质，并说明理由；①；②；（2）已知，且函数具有（1）性质，求实数的取值范围；（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．17．（2024•宝山区校级四模）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”．（1）用初等函数构造区间，到区间，的一个完美对应；（2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；（3）若，，且是某区间到区间，的一个完美对应，求的取值范围．考点五．函数的最值及其几何意义18．（2024•静安区二模）已知实数，记．若函数在区间，上的最小值为，则的值为．19．（2024•青浦区校级模拟）已知，是实数，满足，当取得最大值时，．20．（2024•松江区二模）已知函数，若，则的最小值为．21．（2024•松江区二模）已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是．22．（2024•金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．（1）若，，试判断函数是否是关于0的“函数”，并说明理由；（2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；（3）已知，，其定义域均为，．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．考点六．函数奇偶性的性质与判断23．（2024•青浦区校级模拟）已知函数为偶函数，若，则不可能为A．2024 B． C． D．24．（2024•闵行区二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为A． B． C．，， D．，，25．（2024•崇明区二模）已知函数为奇函数，则（2）．26．（2024•浦东新区二模）已知是奇函数，当时，，则的值是27．（2024•浦东新区三模）已知为偶函数，若（a），则．28．（2024•长宁区二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若（a），则实数的取值范围为．考点七．奇偶性与单调性的综合29．（2024•宝山区三模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．30．（2024•嘉定区校级模拟）已知偶函数在区间，上是严格减函数．若（1），则的取值范围是．31．（2023•虹口区校级模拟）已知定义在上的偶函数满足．若，且在，单调递增，则满足的的取值范围是．32．（2024•黄浦区校级模拟）已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，考点八．抽象函数及其应用33．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是①若（1）（1），则；②若（1）（1），则．A．② B．① C．①② D．都不正确34．（2024•宝山区校级四模）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有（a）（b），则以下选项中，不可能是（1）值的是A． B． C．0 D．135．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数的定义域为，，则下列说法正确的有．①；②（1）；③是偶函数；④为的极小值点36．（2023•嘉定区校级三模）函数，满足，当，，则．考点九．函数恒成立问题37．（2024•黄浦区二模）设函数若恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．38．（2024•杨浦区校级三模）设，若在区间上，关于的不等式有意义且能恒成立，则的取值范围为．39．（2024•浦东新区校级模拟）若存在实数，对任意的，，不等式恒成立．则正数的取值范围是．40．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数若对，，恒成立，则实数的取值范围为．41．（2024•虹口区模拟）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为．42．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数，，如果存在常数，对任意满足的实数，，，，，其中，，，，，都有不等式恒成立，则称函数，是“绝对差有界函数”（1）函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围；（2）对于函数，，，存在常数，对任意的，，，有恒成立，求证：函数，，为“绝对差有界函数”；（3）判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由．考点十．函数的值43．（2024•闵行区校级三模）已知函数则的值为．44．（2024•徐汇区校级模拟）设函数的定义域为，满足，当，时，，则．45．（2022•宝山区校级模拟）设实数且，已知函数，则．46．（2023•松江区校级模拟）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数．一．选择题（共3小题）1．（2024•浦东新区校级三模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是A． B． C． D．2．（2024•普陀区校级三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若（3），则A． B． C．函数的周期为2 D．3．（2024•虹口区二模）已知定义在上的函数，的导数满足，给出两个命题：①对任意，，都有；②若的值域为，，，（1），则对任意都有．则下列判断正确的是A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题二．填空题（共5小题）4．（2024•普陀区校级三模）已知函数是偶函数，则实数．5．（2024•宝山区三模）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围．6．（2024•闵行区二模）对于任意的、，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．7．（2024•嘉定区校级模拟）若正数，满足，则的最小值是．8．（2024•崇明区二模）已知实数，，，满足：，，，则的最大值是．三．解答题（共1小题）9．（2024•闵行区校级二模）已知函数是定义域为的偶函数．（1）求实数的值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．

一．选择题（共1小题）1．（2024•宝山区三模）如果y＝f（x）（x∈[0，1]）同时满足以下三个条件：①f（1）＝1；②对任意x∈[0，1]，f（x）≥0成立；③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1）+f（x2）≤f（x1+x2）成立，则称y＝f（x）为“理想函数”．有下列两个命题：命题α：若y＝f（x）为“理想函数”，则存在x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，使f（x1）＞f（x2）成立；命题β：若y＝f（x）为“理想函数”，则对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤2x成立．则下列说法正确的是（）A．命题α为假命题，命题β为真命题 B．命题α为真命题，命题β为假命题 C．命题α、命题β都是真命题 D．命题α、命题β都是假命题二．解答题（共3小题）2．（2024•杨浦区二模）函数y＝f（x）、y＝g（x）的定义域均为R，若对任意两个不同的实数a，b，均有f（a）+g（b）＞0或f（b）+g（a）＞0成立，则称y＝f（x）与y＝g（x）为相关函数对．（1）判断函数f（x）＝x+1与g（x）＝﹣x+1是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知f（x）＝ex与g（x）＝﹣x+k为相关函数对，求实数k的取值范围；（3）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）为相关函数对，且存在正实数M，对任意实数x∈R，均有|f（x）|≤M．求证：存在实数m，n（m＜n），使得对任意x∈（m，n），均有f(x)+g(x)≥−13．（2024•长宁区二模）设函数y＝f（x）的定义域为D，若存在实数k，使得对于任意x∈D，都有f（x）≤k，则称函数y＝f（x）有上界，实数k的最小值为函数y＝f（x）的上确界．记集合Mn＝{f（x）|y=f(x)（1）求函数y=2x−1（2＜（2）若f（x）＝x3﹣hx2+2xlnx∈M1，求h的最大值；（3）设函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞）；若f（x）∈M2，且y＝f（x）有上界，求证：f（x）＜0，且存在函数y＝f（x），它的上确界为0．4．（2024•浦东新区校级四模）对于函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x），若在其定义域内存在实数x0和t，使得f（tx0）＝tf′（x0）成立，则称y＝f（x）是“卓然”函数，并称t是y＝f（x）的“卓然值”．（1）试分别判断函数y＝x2+1，x∈R和y=1x，x（2）若f（x）＝sinx﹣m是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；（3）证明：g（x）＝ex+x（x∈R）是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．一．选择题（共4小题）1．（2022•上海）下列函数定义域为的是A． B． C． D．2．（2023•上海）下列函数是偶函数的是A． B． C． D．3．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A． B． C