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文档简介

导数与微分1微分的定义微分的几何意义微分公式与运算法则第五节函数的微分(differential)微分在近似计算中的应用2函数的微分导数微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值.有着密切的联系.3正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出实例线性函数(linearfunction)一、微分的定义的线性(一次)函数,很小时可忽略.的高阶无穷小,函数的微分4再如,既容易计算又是较好的近似值函数的微分5?一定条件,线性函数函数的微分则函数的增量可以表示为=D-DxAy(称为线性主部)，6定义2.微分的定义如果则称函数可微(differentiable),A为微分系数函数的微分记作微分(differential),并称为函数)(xoxAD+D.微分也称为函数增量的线性主部.7定理证(1)必要性3.可微的充分必要条件即有函数的微分

满足什么条件的函数是可微的呢？

微分的系数A如何确定呢?

微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题.8(2)充分性

求导法又叫微分法函数的微分从而其微分一定是定理即有)0,0(®®Dax9注

的条件下,可以近似代替增量因此,有精确度较好的近似等式

结论在0)(0¹¢xf10导数称为微商函数的微分

称为函数的微分,记作称为自变量的微分,记作注,)()2(的微分在任意点函数xxfy=x任意点11例1解:函数的微分又如,12几何意义(如图)二、微分的几何意义函数的微分对应的增量,增量时;是曲线的纵坐标就是切线纵坐标13求法1.基本微分公式三、微分公式与运算法则函数的微分计算函数的导数,乘以自变量的微分.142.运算法则函数的微分15例2解例3解函数的微分16

例4

在括号中填入适当的函数

使等式成立

(1)d()

xdx

(2)d()

cosw

t

dt

(2)因为d(sinw

t)

wcoswtdt

所以(1)因为d(x2)

2xdx

所以

解

函数的微分17结论微分形式的不变性3.复合函数的微分法无论x是自变量还是中间变量,函数的微分形式总是函数的微分18例5解法一用复合函数求导公式法二用微分形式不变性

在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.函数的微分19例7例6解函数的微分20例8.设求解:利用一阶微分形式不变性,有21四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:22的近似值.解:

设取则例9.求23的近似值.解:例10.计算24内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(x是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算25思考题1

分析?函数的微分.d)(lncos1,2xxx使其微分等于求一个函数

一阶微分形式不变性在后面的积分和微分方程中常常用到.解答)(lnd)(lncos12xx=26思考题2

设函数

可导,

当自变量

处取得增量增量

的线性主部为

则

相应的函数

解函数的微分27练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.函数的微分282.函数的微分295.

设由方程

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