线性代数-课件 1-1.1 二阶、三阶行列式

1、二阶行列式的定义2、二阶行列式的应用—解二元线性方程组1.1.1二阶行列式1.1.2三阶行列式1、三阶行列式的定义2、三阶行列式的应用教学要求：了解二阶、三阶行列式的概念；

掌握二阶、三阶行列式的计算；掌握二元、三元线性方程组的求解公式。在中学阶段，学习了各种式子,如和式、分式、根式、积分式等。和式：分式：根式：积分式：2+3；a+b;…运算符“+”运算符“—”，“+”运算符“”运算符“

”1、二阶行列式的定义定义1.1

由2×2个数aij

(i,j=1,2)排成2行2列的数表,并在两边画上竖线的符号第1行第2行第1列第2列称为二阶行列式,它表示代数运算:a11a22

a12a21.二阶行列式的对角线规则：主对角线上两元素乘积与副对角线上两元素乘积之差。副对角线主对角线注：由定义,二阶行列式表示一个代数运算式!例如：二阶行列式系数aij

及bi(i,j=1,2)为常数。由aij

及bi(i,j=1,2)可构成以下3个二阶行列式，分别记为2、二阶行列式应用设二元线性方程组其中D称为系数行列式。其中x1,x2为未知量，说明：显然，系数行列式D是由方程组(1.1)的系数在方程组的一般形式下保持原来相对位置不变所构成的二阶行列式.二阶行列式D1是用常数项(b1,b2)替换D中第一列所得的行列式,二阶行列式D2是用(b1,b2)替换D中第二列所得的行列式.的系数行列式命题1.1

设二元线性方程组且则方程组的解可表示为(1.1)【证】由消元法解二元线性方程组两式相减，消去x2

得(1)×

a22(2)×

a12显然，两个解的分母相同，且分母由方程组的4个系数aij

确定.类似地，消去x1

得当a11a22

a12a21≠0时,(1.2)利用二阶行列式的定义，记即则方程组的解(1.2)式可表示为证毕。【例1.1】解线性方程组解:

因为系数行列式由命题1.1，所以方程组的解为且回顾：上一讲学习了二阶行列式3、三阶行列式的定义类似地，我们定义三阶行列式如下。定义1.2

设3×3个数aij(i,j=1,2,3)排成的3行3列并在两边加上竖线的式子它表示代数运算

称为三阶行列式，记为D=|(aij)3|或det(aij),即a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33+－说明:(1)三阶行列式的对角线规则(2)沙路法:三阶行列式还可用沙路法则记忆(如图1.2)

a11a21a31

a12a22a32a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

将行列式的第一列、第二列重复写在行列式右侧，然后画线，实线划过的3数乘积之和与虚线划过的3数乘积之差。【例1.2】计算三阶行列式按对角线规则

有【解】

1

2

(

1)

3

(

1)

(

1)D

1

5

4

2

2

2

2

(

1)

4

3

5

2

11解：按对角线法则，有【例1.3】求行列式

20+0+0-0-0-0

12

0

3

0

0D

1

5

4

6

2

0

3

5

0

6

0

4

20

规律：观察行列式的特点，位于主对角线下方元素全部为零，称这种形式的行列式为上三角形行列式。例题表明：上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积。【例1.4】已知【解】方程左端为三阶行列式,按对角线法则得解得注：若记显然,D(x)是x的函数.求x.

解：按对角线规则，有课堂练习：

求行列式思考：

命题1.2设含有三个未知量与三个方程的线性方程组为4、三阶行列式的应用其中xi为未知量，aij,bj(i=1,2,3;j=1,2,3)为已知常数。且系数行列式则方程组的解为若记可见：类似于二元方程组,三元线性方程组的解也是由系数aij,bi决定的。【例1.5】解线性方程组【解】因为系数行列式方程组有唯一解,又因为所以线性方程组的唯一解为【例1.5’】解线性方程组【解】方程组的系数行列式为=1×1×(

1)且行列式故方程组的解为:说明：求解三元线性方程组，解题关键是计算系数行列式D,以及行列式D1

,D2

,D3

,其中D1

,D2

,D3

是将系数行列式D的第1，2，3列分别用常数列替代而得到行列式.练习1.计算下列行列式2.计算下列二阶或三阶行列式(假设a,b,c,

为常数)(2)

(3)(1)4.请你自编一个二元线性