电路分析基础：第八章 阻抗与导纳

第八章阻抗与导纳§8-1变换方法的概念§8-2复数§8-3振幅相量§8-4相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式§8-5三种基本电路元件VCR的相量形式§8-6VCR相量形式的统一—阻抗与导纳的引入§8-7相量模型的引入§8-8正弦稳态混联电路的分析§8-9相量模型的网孔分析和节点分析§8-10相量模型的等效§8-11有效值有效值相量§8-12两类特殊问题相量图法§8-1变换方法的概念

所有变换方法的基本思路和步骤是：

（1）把原来的问题变换为一个较易处理的问题。原来的问题原来问题的解答变换变换域中较易的问题变换域中问题的解答求解反变换

（2）在变换域中求解。

（3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。

求解方程直接求解是相当困难的。变换取对数求解查对数表反变换查反对数表§8-2复数Im=?

Ψ=?

计算很复杂一、复数及其表示

设A为复数，则：A=a+jb（代数式）称为虚数单位。aAb0+1+j称为复数的模幅角实部虚部（指数式）（三角式）（极坐标式）A=a+jb（代数式）二、复数运算（熟记公式）§8-3振幅相量振幅角频率初相位f=1/T=2/T=2fω相位差：两个同频率正弦量的相位之差或是初相之差，称为相位差，用表示。称i超前u

角。称i滞后u角。称i与u同相位，简称同相。其特点是：两个正弦量同时到达最大值，也同时到达零值。其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的值刚好是零。称i与u正交。称i与u反相。其特点是：当一正弦量到达正的最大时，另一正弦量正好为负的最大。

一个复数由模和幅角两个特征量确定。

一个正弦量有幅值、频率和初相位三个要素。

在正弦稳态电路中，各个电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，在计算时可不必考虑频率。

已知频率的情况下，计算过程中一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。称为最大值相量。振幅值相量的模值等于正弦量的振幅值，幅角等于正弦量的初相位。

相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，为了与一般复数的区别，在这相量的字母上端加一点。

注意正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。§8-11有效值有效值相量

周期性交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量等于一直流电流I通过同一电阻R、在相等的时间T内产生的热量，则直流电流I称为交流电流i的有效值。Ri==RI=也称方均根值。称为有效值相量。

有效值相量的模值等于正弦量的有效值，幅角等于正弦量的初相位。

相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，称为相量图。1j0+1只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

注意试写出代表这三个电流的各振幅相量，并画相量图。频率f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。

解：ω=2πf=2π×50=100π

rad/s§8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式称为相量的线性性质。若f1(t)和f2(t)为同频率的正弦量，且？0

例8-5下图所示为电路中的一个节点，已知：i1i2i3求i3。

解：

例8-6已知：求uac。

解：§8-5三种基本电路元件VCR的相量形式

一、电阻元件uiR

ψu=ψi

，则u、i同相。

二、电容元件iC

uψi-ψu=90°，则i超前u90°。

当C和Um值一定时，ω越高，则Im越大，也就是说电流越容易通过；ω越低则Im越小，电流越难通过。

直流稳态（ω=0）时，Im=0，则电容相当于开路。U

•I•

例8-8流过0.5F电容的电流为试求电容的电压u(t)，并绘相量图。

三、电感元件–

+u

iLψu-ψi=90°，则u超前i90°。

当L和Im值一定时，ω越高，则Um越大；ω越低则Um越小。

直流稳态（ω=0）时，Um=0，则电感相当于短路。I

•U•

例8-94H电感两端电压为求流过电感的电流i(t)。

例8-10电路如图所示，已知

iLL+-u(t)iiRiCRCR=15Ω、L=30mH、C=83.3μF，求i(t)。§8-6VCR相量形式的统一—阻抗和导纳的引入

无源二端网络（元件）在正弦稳态时电压相量与电流相量之比称为该元件的复阻抗Z，即称为欧姆定律的相量形式。

复阻抗的虚部称为电抗X，即称为电容的电抗，简称容抗。称为电感的电抗，简称感抗。

复阻抗的倒数称为复导纳Y，即称为电纳。称为容纳。称为感纳。§8-7正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—相量模型的引入

将电压和电流换用电压相量和电流相量，电阻换用复阻抗，电导换用复导纳，正弦稳态电路的计算可以仿照直流电阻电路的处理方法来进行。

即利用计算电阻电路的方法来计算正弦稳态电路，而不用列微分方程和求解微分方程。

电路中的电压源和电流源用相量表示，电路元件则用复阻抗或复导纳表示，则称为相量模型。

相量模型和原正弦稳态电路具有相同的结构；模型中的电压、电流都是代表原电路图中各正弦电压、电流的相量，其参考方向仍与原电路相同，即电压、电流换用相量表示。正弦稳态电路正弦稳态解列微分方程变换相量模型相量解求解反变换列复数方程求解特解

例8-11RLC串联电路如图所示，已知电源电压

uLL+-us(t)i+uR

-+uC

-RC+-R=2Ω、L=2H、C=0.25F。试求稳态电流i(t)以及各元件的电压。

解（1）写出已知正弦量的相量，并画出相量模型。

+-+-+

-+-RZCZL

（2）Z=R+ZC+ZL=2-j2+j4=2+j2

（3）写出各相量所对应的正弦量

例8-12GCL电路如图所示，已知G=1S、L=2H、C=0.5F，

L+-is(t)uGC求u(t)。

解（1）画相量模型。

+-1Sj1S

（2）Y=G+YC+YL=1+j1+(-j0.25)=1+j0.75

（3）写出相对应的正弦量§8-8正弦稳态混联电路的分析

作出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或输入导纳、各支路电流相量以及电压相量等。

（1）同一元件的阻抗与导纳互为倒数；

同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数。

（2）要记住基本元件的阻抗和导纳。（3）串联部分：

并联部分：

例8-13电路如图所示，R1=1.5kΩ，R2=1kΩ，L=1/3H，C=1/6μF，

iLL+-us(t)iiCR1CR2求i(t)、iC(t)、iL(t)。解画相量模型。

ZL+-R1ZCR2

ZL+-R1ZCR2分子分母都乘以(1+j1)

ZL+-R1ZCR2

ZL+-R1ZCR2§8-9相量模型的网孔分析和节点分析

例8-15电路如图所示，其中r=2Ω，R=3Ω，L=4mH，C=500μF。求i1(t)和i2(t)。已知

iLL+-us(t)i1i2RC+ri1-解：画出相量模型

ZL+-R1ZC+

-

ZL+-R1ZC+

-§8-10相量模型的等效

对于无源二端网络R=Re[Z]称为输入阻抗的电阻分量，它通常是网络中各元件参数和频率的函数；X=Im[Z]称为输入阻抗的电抗分量，它通常是网络中各元件参数和频率的函数。

任何一个无源二端网络都可等效为一电阻和一个电抗的串联。一个无源二端网络也可等效为一个电导和电纳的并联。

设Z=R+jX，则即相应的并联相量模型的电导和电纳分别为

设Y=G+jB，则即等效的串联相量模型的电阻和电抗分别为

R、G、X、B等均为频率的函数，所以等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。

例8-19用戴维南定理求下图所示相量模型中的电流

+-R1100-j50R2100j200+-

求Z0+-Z0R2100§8-12两类特殊问题相量图法

两类特殊问题是指在电路分析时只要计算有效值和只要计算相位差的问题。

相量图法是先定性是画出相量图，然后根据图形的特征解决问题。

在进行电路分析时，