线性代数-课件 6-6.1 二次型及其标准形

教学内容：1、二次型的概念2、二次型的矩阵表示3、二次型的标准形4、合同变换与合同矩阵教学要求：了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型。了解二次型秩的概念。

了解实二次型的标准形概念。了解合同变换和合同矩阵的概念。

定义6.1

设含有n个变量x1,x2,…,xn

的二次齐次多项式函数为则称f(x1,x2,…,xn)为n元二次型，简称二次型f，其中aij为常数,项2aij

xixj称为交叉项,项aiixi2称为平方项(i,j=1,2,…,n).1、二次型的定义(6.1)说明：(1)当常数aij为实数时，称

f为实二次型；当常数aij为复数时，称f为复二次型．(2)二次型（6.1）还可用和号“

”表示成其中aij

=aji

例如：是4元二次型。不是二次型,其中含有1次项（4x3

）.是2次齐次函数,但它不是二次型

.2、二次型的矩阵表示若取aij=aji，则交叉项2aij

xixj=aij

xixj+aji

xj

xi（i,j=1,2,…,n）,于是(6.1)可改写成其中ai1xix1+ai2xix2+…+aiixi2

+…+ainxi

xn（i=1,2,…,n）提取xi得可写成可写成由矩阵的乘法,所以（6.1）式可矩阵乘法表示为记称（6.2）为二次型的矩阵表示，其中A是对称矩阵，并称A

为二次型f的矩阵。说明：

（1）由（6.1）可知，对称矩阵A的主对角线上的元

aii

依次是平方项aiixi2的系数，主对角线以外的元aij是交叉项2aij

xixj系数的一半。（2）二次型与对称矩阵之间一一对应。任给一个二次型，唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也唯一确定一个二次型。因此，我们把对称矩阵A

称为二次型f的矩阵，f叫做对称矩阵A

的二次型。（3）二次型的秩。规定矩阵

A

的秩称为二次型f

的秩。【例6.1】写出二次型解按A的主对角线上的元素aii是平方项xi2的系数,主对角线以外元素aij是xixj的系数的一半的原则,得二次型f的矩阵表示的矩阵表示。其中【例6.2】给定实对称矩阵对应的二次型为由于矩阵A的秩为3，所以二次型f的秩为3。定义6.2

只含平方项不含交叉项的二次型称为标准形，即形如称为二次型的标准形，其中di

为常数(i=1,2,…,n).3、二次型的标准形显然，二次型的标准形矩阵为对角矩阵，即例如，标准形与对角矩阵其中二次型可看成对应。与对角矩阵对应。特别地，在（6.3）中，若di=1（i=1,2,…,n），即此时，标准形矩阵为单位矩阵换句话，n阶单位矩阵对应的二次型为n个变量的平方和。设n个变量x1

,x2

,…,xn

与n个变量y1

,y2

,…,yn

之间的存在线性关系式则称（6.5）式为

y1

,y2

,…,yn

到变量x1

,x2

,…,xn

的线性变换，其中

cij

为常数。3、线性变换由矩阵乘法知线性变换（6.5）的矩阵表示为记即x=Cy.对于线性变换x=Cy，（1）当C可逆时,称x=Cy为可逆线性变换(或非退化线性变换)；（2）当C为正交矩阵时,称x=Cy

为正交线性变换，简称正交变换.例如：线性变换线性变换矩阵所以又因为|C|=11≠0，故C为可逆矩阵，因此该变换为可逆线性变换。的矩阵表示对于二次型f=xTAx，讨论的主要问题是:寻找可逆线性变换x=Cy,将其化为标准形。把x=Cy代入二次型f(x)=xTAx，则其中B=CTAC.当B为对角矩阵diag(d1,d2,…,dn)时，f(Cy)=yTBy

为标准形，即2、合同矩阵定义6.2

设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C，使得

CTAC=B,则称A合同于B。①反身性：矩阵A合同自身A;②对称性：矩阵A合同于B,则B合同于A合同矩阵的基本性质：③传递性：若A合同于B,B合同于D,则A合同于D.即A合同于D.④合同矩阵具有相同的秩.即若A合同于B,则r(A)=r(B).【证】因为A合同于B，即存在可逆阵C，使得

CTAC=B，所以r(A)=r(B).⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.即若B是且对称矩阵，且A合同于B,则A也是对称矩阵。【证】CTAC=B,(CTAC)T=BT=B，=>CTATC=BT=B=>AT=A.说明：

(1)矩阵的合同关系是一种等价关系，矩阵的相似关系也是一种等价关系，但他们是有区别的，不能混淆。(2)存在这样的矩阵A与B，它们既是相似的，又是合同的。例如：实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得QTAQ=Q

1AQ=

，

即实对称矩阵与对角矩阵间既相似又合同。(3)给定二次型f(x)=xTAx

，作可逆线性变换x=Cy,得二次型yTBy,即则对称矩阵A与对称矩阵B

合同。（4）要使二次型f

经可逆变换x=Cy

变成标准形，就是要使也就是要使CTAC=B

成为对角矩阵例如：

二次型若作线性变换：怎样寻找可逆线性变换？若作线性变换：，则f化成标准形标准形即CTAC=B

成为对角阵：问题：对于对称矩阵A，寻找可逆阵C

，使得CTAC=B为对角阵，这样二次型就化为标准形了。所以，f(Cy)=2.设矩阵A=写出矩阵A的二次型

f，并指出f的秩.1.写出下列二次型矩阵.练习4.设二次型3.若求CTAC,C

1AC.且求f(Cy).5.设矩阵A与B合同，且矩阵B与C合同，证明矩阵A与C合同。验证CTEC=A，并证明E与A不相似。

6.设考研真题2.(2001数学三)设矩阵A=(aij)n为可逆的实对称矩阵，Aij是A中元素a