《电工与电子技术》课件第11章

11.1数字电路及其特点

11.2逻辑门电路

11.3逻辑代数的基本公式、定律和规则

11.4逻辑函数的化简

本章小结

习题11第11章逻辑代数基础表11-1列出了数字电路和模拟电路的主要区别。11.1数字电路及其特点表11-1数字电路和模拟电路的主要区别11.2.1基本逻辑运算

1．与运算

图11-1(a)表示一个简单的与逻辑电路，只有当开关A和B全部闭合时，灯泡Y才会亮，若有一个或两个开关断开，灯泡Y都不会亮。11.2逻辑门电路图11-1与逻辑电路与符号若用二值逻辑0和1来表示，设A、B为1表示开关闭合,为0表示开关断开，Y为1表示灯亮，为0表示灯灭(把这一过程称为状态赋值)，则可得到与运算的表达式

Y=A·B(11-1)

式中“·”表示与运算，读做与，也叫逻辑乘。

有时，为了更清晰、全面地描述事物的逻辑关系，常把条件和结果对应关系的各种可能全部求出并列出表格，这种表格称为真值表。图11-1(a)所示与逻辑关系的真值表如表11-2所列。表11-2与逻辑关系的真值表

2．或运算

图11-2(a)表示一个简单的或逻辑电路，当开关A和B中至少有一个闭合时，灯泡Y就会亮。由此可以总结出另一种逻辑关系：“只有一件事情的几个条件中有一个条件得到满足，这件事就会发生”，这种关系称为或逻辑。

在同上的状态赋值条件下，或运算的表达式和真值表分别如式(11-2)和表11-3所示。

Y=A+B(11-2)

式中，符号“+”表示A和B的或运算，读做或，也叫逻辑加。图11-2(b)所示是或逻辑符号。图11-2或逻辑电路与符号表11-3或逻辑关系的真值表

3．非运算

图11-3(a)表示一个简单的非逻辑电路，当开关A闭合时，灯泡Y不亮；只有当开关断开时，灯泡Y才会亮。由此可以总结出第三种逻辑关系：“一件事情的发生是以其相反的条件为依据”，这种关系称为非逻辑。非运算的表达式和真值表分别如式(11-3)和表11-4所示。

(11-3)图11-3非逻辑电路与符号表11-4非逻辑关系的真值表11.2.2复合逻辑运算

与、或、非是逻辑代数中的三种基本运算，由它们可以组成几种常用的复合逻辑运算，如与非运算、或非运算、异或运算、同或运算以及与或非运算，其逻辑表达式、逻辑符号和真值表如表11-5和表11-6所示。表11-5几种常见的复合运算表11-6与或非运算真值表11.2.3逻辑关系的表示方法

1．真值表

真值表也叫逻辑真值表，它是将输入、输出变量之间各种取值的逻辑关系经过状态赋值后所列成的表格。

在图11-4所示的电灯控制电路中，若设开关A、B接到S1用1表示、接到S0用0表示，电灯亮用1表示、不亮用0表示，可以得到反映开关A、B和电灯Y状态关系的真值表如表11-7所列。

图11-4电灯控制电路表11-7电灯控制电路真值表

2．逻辑表达式

3．逻辑图

逻辑图是用逻辑符号表示逻辑关系的图形表示方法。与表达式对应的逻辑图如图11-5所示。逻辑图的优点是与器件有明显的对应关系，便于制成实际的电路，缺点是不能直接进行运算。图11-5图11-4的逻辑图

4．波形图

波形图也叫时序图，是用变量随时间变化的波形来反映输入、输出间对应关系的一种方法。

根据表11-7和给定的A、B波形对应画出Y的波形如图

11-6所示。图11-6图11-4的波形图

5．卡诺图

1)最小项

2)标准与或表达式

例11-1

将函数表示成最小项之和表达式。

解

3)卡诺图

画卡诺图时，根据函数中变量数目n，将图形分成2n个方格，方格的编号和最小项的编号相同，由方格外的行变量和列变量的取值决定。图11-7(a)、(b)、(c)分别是二变量、三变量、四变量的卡诺图。图11-7二、三、四变量卡诺图

4)用卡诺图表示逻辑函数

由于卡诺图中的小方格同最小项或真值表中某一行是一一对应的，因此根据逻辑函数最小项表达式画卡诺图时，式中有哪些最小项，就在相应的方格中填1，而其余的方格填0(0也可以省略不填)。

例11-2

试画出逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,3,4,5,6,14,15)所对应的卡诺图。

解由题意可知，逻辑函数Y是一个四变量函数，这样可以画出一个四变量的卡诺图；Y中包含的最小项有m0、m3、m4、m5、m6、m14、m15，则在卡诺图相应的小方格中填1，在剩余的小方格中填0。卡诺图如图11-8所示。图11-8例11-2图

例11-3

画出逻辑函数的卡诺图。

解

Y式中已是最小项,含有与项AB的最小项有2个：ABC和。故在m3、m5、m6、m7相应的小方格内填1，如图11-9所示。

图11-9例11-3图11.2.4集成门电路简介

1．TTL与非门

四-二输入与非门电路7400的管脚排列如图11-10(a)所示。图11-107400四-二输入与非门

2．TTLOC门

图11-11(a)是集电极开路与非门，图11-11(b)是其逻辑符号。图11-11(c)给出的是两个OC门线与连接起来的逻辑图。其输出Y为

图11-11TTLOC门

3．TTL三态门(TSL门)

图11-12(a)是三态门的内部电路图，图11-12(b)是控制端高电平有效的逻辑符号，图11-11(c)是控制端低电平有效的逻辑符号。

对于图11-12(a)，当C=1时，二极管VD截止，电路实现与非功能，即；当C=0时，V2和V5截止，V3导通，V4截止，输出端对地呈现高阻状态。

4．MOS集成门电路图11-12TTL三态门11.3.1基本公式

逻辑代数的基本公式有

A+0=A

A×1=A

A+1=1 A×0=0

A+A=A

A×A=A

A+=1 A×=011.3逻辑代数的基本公式、定律和规则11.3.2基本定律

逻辑代数中的基本定律是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本工具。其基本定律如下：

(1)交换律：A+B=B+A，A×B=B×A。

(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A×B)C=A×(B×C)。

(3)重叠律：A+A+A+…=A,A×A×A×…=A。

(4)分配律：A+BC=(A+B)(A+C),A(B+C)=AB+AC。

(5)反演律：。

推广:

(6)扩展律:。

(7)吸收律：A+AB=A，A(A+B)=A。

(8)消因子律：。

(9)添加律：。11.3.3基本规则

1.代入规则

在一个逻辑等式中，将等式两边的某一个变量用一个逻辑函数来代替，等式仍然成立，这一规则称为代入规则。

如在中，用AC取代A代入到等式两边

用反演律，代入上式左右两边

2.反演规则

已知一个逻辑函数Y，要求它的反函数时，只要将原函数的原变量变为反变量，反变量变为原变量,与变为或，或变为与,1变为0，0变为1,就得到。这就是反演规则。运用反演规则时，要注意两点：不能破坏原式的运算顺序，有公共非号的项可看作一个整体(或看作一个变量)。

例11-4

求

的反函数。

解

3.对偶规则

已知一个函数Y，将它的与变为或，或变为与，0变为1，1变为0而得到一个新函数Y′，新函数Y′称为函数Y的对偶函数。一般，当某个逻辑恒等式成立时，其对偶式也成立。11.4.1逻辑函数的公式化简法

1.并项法

利用，将两项合并成一项，并消去一个变量。例如：

11.4逻辑函数的化简

2.吸收法

利用吸收律A+AB=A，消去多余因子。例如：

Z=B+ABD=B

Z=AB+ABCD=AB

3.消因子法

利用消因子律，消去多余因子。例如:

4.消项法

利用添加律，消去多余项。例如:

5.配项法

利用互补律、重叠律和基本公式，给某些逻辑函数配上适当的项，进而消去原来函数中更多的项和变量。例如，

11.4.2逻辑函数的卡诺图化简法

1.卡诺图化简逻辑函数的理论依据

由于卡诺图中几何位置相邻的最小项符合逻辑相邻的原则，而逻辑函数化简的实质就是合并逻辑相邻的最小项，因此，直接在卡诺图中合并几何相邻的最小项即可。合并的具体方法是将所有几何相邻的最小项圈在一起进行合并。

图11-13、图11-14、图11-15中分别画出了2个最小项、4个最小项、8个最小项合并成一项的情况。图11-132个最小项的合并图11-144个最小项的合并图11-158个最小项的合并

2.卡诺图化简逻辑函数的一般步骤

3.圈“1格”的注意事项

例11-5

利用卡诺图化简函数

Y=∑m(1，4，5，6,8，12，13，15)

解

(1)画出Y的卡诺图，如图11-16所示。

(2)合并“1格”。图中画出了1个“4格组”的圈和4个“2格组”的圈，但这种方案是错误的，因为“4格组”圈中所有“1格”都被圈过两次。正确方案是只保留图中4个“2格组”的圈。

(3)写出最简与或表达式

图11-16例11-5的卡诺图

例11-6

利用卡诺图化简函数

解

(1)画出Y的卡诺图，如图11-17所示。

(2)合并“1格”。注意4个角的“1格”应圈在一起进行合并。

(3)写出最简与或表达式

图11-17例11-6的卡诺图

4.具有约束的逻辑函数的化简

例11-7

用卡诺图法将下列具有约束的逻辑函数化简成最简与或式。

其中

Y2(A,B,C,D)=∑m(2，3，4，7，12，13，14)

+∑d(5，6，8，9，10，11)

解画出Y1和Y2的卡诺图，如图11-18所示。

可得图11-18例11-7的卡诺图

(1)数字电路研究的主要问题是输入变量与输出函数之间的逻辑关系，它的工作信号在时间和数值上是离散的，用0或1表示。

(2)二进制是数字电路的基本计数体制；十六进制有16个数字符号，四位二进制可表示一位十六进制。常用的码制是8421BCD码。本章小结

(3)逻辑代数有三种基本的逻辑运算关系——与、或、非，由它们可组合或演变成几种复合逻辑运算——与非、或非、异或、同或和与或非等。

(4)逻辑函数有五种常用的表示方法——真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图和卡诺图。它们虽然各具特点，但都能表示输出函数与输入变量之间的取值对应关系。五种表示方法可以相互转换，其转换方法是分析和设计数字电路的必要工具，在实际中可根据需要选用。

(5)逻辑函数的化简是分析、设计数字电路的重要环节。实现同样的功能，电路越简单，成本越低，且工作越可靠。化简逻辑函数有两种方法，公式法和卡诺图法各有所长，又各有不足，应熟练掌握。

(6)在实际逻辑问题中，输入变量之间常存在一定的制约关系，称为约束。把表明约束关系的等式称为约束条件。在逻辑函数的化简中，充分利用约束条件可使逻辑表达式更加简化。

1.完成下列数制转换

(1)(1011)2=()10=()8=()16

(2)(110111101.10101)2=()8=()16

(3)(548.75)10=()8=()16

(4)(100)10=()8=()16

(5)(5C3A)16=()2=()8

(6)(45)16=()2=()8

习题11

2.完成下列数码之间的转换

(1)(10010010110)8421BCD码=()余3码

(2)(110010100011)余3码=()8421BCD码

(3)(01100111.0110)8421BCD码=()10

(4)(10100101.1001)余3码=()10

3.分别画出图11-19(a)所示各逻辑门的输出波形，输入波形如图11-19(b)所示。图11-19计算题3图

4.已知逻辑函数Y的真值表如表11-8所示。试写出其逻辑表达式。表11-8习题4逻辑函数Y的真值表

5.已知逻辑函数。试列出其真值表，并画出其逻辑电路图。

6.用真值表证明下列等式：

(1)

(2)

(3)

7.用公式法化简下列函数：

(1)

(2)

(3)

(4)