《信号、系统分析与控制》课件第7章 连续系统的时域和频域分析

第7章连续系统的时域和频域分析

本章将研究连续系统的时域分析（激励与响应）和在频域（包括复频域即s域）中的关系及其应用。时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。频域、复频域分析法在线性连续系统分析中也具有独特用途和优势；系统的频域分析主要包括求表征系统频率特性的频率响应特征量和在频域求解系统输出两方面内容。本章介绍的连续系统分析对于研究系统性质、系统对信号的传输、处理能力和系统设计有重要意义。7.1信号通过线性系统

系统可以看作是一个信号处理器，当信号通过线性系统时，会产生两种结果：输出信号失真和不失真。系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是波形变换。因此对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；利用失真进行波形变换（如滤波）。7.1.1信号作用于LTI系统的响应1.基本信号作用于LTI系统的响应傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：。

在频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t=-∞时总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号时，其响应是信号与系统的冲激响应的卷积：（7.1.1）

而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j

)，常称为系统的频率响应函数。即：（7.1.2）反映了响应y(t)的幅度和相位，代表了系统对信号的处理结果。2.一般信号f(t)作用于LTI系统的响应同样，一般信号f(t)作用于LTI系统时，系统输出的响应在时域是该信号与系统响应函数的卷积，因此在频域是信号的频谱函数与系统函数的频谱函数（冲激响应）的乘积，LTI系统的时域分析与频域分析的关系如图7-1-1所示。7.1.2无失真传输线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，但不产生新的频率成分。而非线性系统产生的非线性失真将产生新的频率成分。时域无失真传输的条件：无失真传输是指线性系统输出响应的波形与输入激励的波形完全相同，只有幅度的大小和出现时间的先后可以不同，而没有波形上的变化，如图7-1-2所示。即：（7.1.3）频域无失真传输的条件：对上述公式取傅里叶变换，并利用时移特性，可得其频谱关系为：（7.1.4）所以无失真传输系统的系统函数为：，即频域无失真传输条件为：

（7.1.5）系统要实现无失真传输，对系统H(j

)的要求是：要求幅度是与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。相位特性与成正比，是一条过原点的负斜率直线。如图7-1-3所示。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。即，对h(t)的要求：h(t)=K

(t–t0)

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。引出系统的重要意义在于研究信号传输的基本特性，是一个加权函数，对各频率分量进行加权：信号的幅度由加权，信号的相位由修正。7.1.3理想低通滤波器

无失真传输要求传输信号时尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。具有如图7-1-4所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器，

c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：（7.1.6）它可以看作是宽度为2的门函数：（7.1.7）（1）冲激响应：，根据傅立叶变换得：（7.1.8）这是一个非因果函数，可见理想低通滤波器实际上是不可实现的非因果系统。（2）阶跃响应经推导，可得（7.1.9）

波形如图7-1-5所示，可见理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，而且在-∞<t<0区域就已经出现震荡，这是采用理想化频率响应所致。称为正弦积分，特点是有明显失真，只要

c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。虽然理想低通滤波器是物理不可实现的非因果系统，但是在实际中设计一个传输特性接近于理想特性的滤波器电路却并不难。7.2.1LTI系统的数学模型与微分方程

7.2连续系统的时域响应LTI系统是最常见、最有用的一种系统，描述该系统的输入、输出特性使用常系数线性微分方程。因此LTI连续系统的时域分析归结为：建立并求解线性微分方程。

由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。系统分析的过程一般分为三个阶段：首先要建立系统的数学模型，即LTI系统的微分方程，在电路分析中，系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微分方程的列写依据是欧姆定律（VAR）、基尔霍夫定律（KCL和KVL）以及电子元器件的U-I关系。然后，求解微分方程，得出输出响应的变化规律。最后对其数学结果进行物理解释，反映实际应用的结果。

7.2.2微分方程的经典解与连续系统的完全响应由（7.2.1）式可知，n阶常系数线性微分方程为：

求解微分方程的一般步骤是：先求出齐次解、再求特解，微分方程的经典解：完全解（代表系统的完全响应）=齐次解+特解。1.齐次解由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式

齐次解的函数形式仅取决于系统本身的参数（特征值），齐次解代表零输入响应、自然响应或固有响应。并注意齐次解的重根、复根情况处理方法。（1）特征方程的根为n个单根。当特征方程的根（特征根）为n个单根（不论实根、虚根、复数根），，…

，时，则通解表达式为：

（2）特征方程的根为n重根。当特征根为n个重根(不论实根、虚根、复数根)==…=时，通解表达式为：

求的基本步骤如下：求系统的特征根，写出的通解表达式。由于激励为零，所以零输入的初始值：，由此确定出积分常数C1，C2，…，Cn将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入通解表达式，即得。2.特解

特解代表零状态响应、受迫响应或强迫响应。特解的函数形式完全由激励信号决定。求特解：（1）根据微分方程右端输入信号的函数形式有对应特解的形式，用待定系数法由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。（2）设含待定系数的特解函数式。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。（3）用初始值确定积分常数。将上述代入原方程，比较系数定出特解，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用个n初始值确定。几种常见的典型自由项激励函数和相应的特解，如表7-1所示。3.完全解与系统的完全响应完全解代表系统的完全响应，系统的完全响应有以下类型：（1）系统的响应由自由响应（Natural）和强迫响应（forced）组成。

完全响应=自由响应＋强迫响应

自由响应也叫固有响应，由系统本身特性决定的，与外加激励形式无关。对应于微分方程的齐次解。强迫响应的形式取决于外加激励，对应于微分方程的特解。即（2）系统的响应由暂态响应（Transient）和稳态响应（Steady-state）组成。

完全响应=暂态响应+稳态响应暂态响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。稳态响应由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。即（3）系统的响应由零输入（Zero-input）响应和零状态(Zero-state)响应组成。即

完全响应=零输入响应+零状态响应

4.关于0-和0+初始值

（1）0-状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。（2）0+状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。若输入是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即(j=0,1,2…，n-1)。而包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。

0+状态的确定方法如下：已知0-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法。求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。（3）从0-状态到0+状态的跃变。通常，需要从已知的初始状态设法求得。当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含

(t)及其各阶导数：当微分方程右端含有冲激函数

(t)及其各阶导数时，响应y(t)在t=0处将发生0-状态到0+状态的跃变。否则不会跃变。（4）各种响应用初始值确定积分常数：在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。7.2.3连续系统的零输入、零状态响应

用连续系统的时域分析法，求解LTI系统的微分方程时，需要求出零输入响应和零状态响应，才能得出完全响应。

1．零输入响应（ZIR）没有外加激励信号的作用，完全只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应，是零输入响应（ZIR）。对于一阶系统，零输入响应为求常系数线性微分方程：其中：（7.2.7）即求解对应齐次微分方程的解。2．零状态响应（ZSR）不考虑原始时刻系统储能的作用，即系统的初始状态等于零，只由系统的外加激励信号产生的响应，是零状态响应（ZSR）。对于典型的一阶系统，由（7.2.4）式，得

即

对上式从0-到t积分，得：由于x(t)在t=0时刻加入，即，对于因果系统有，所以系统的零状态响应（ZSR）为：（7.2.9）典型的一阶系统的零状态响应（ZSR）为输入信号x(t)与g(t)=e-bt

的卷积：（7.2.10）因此，可以用MATLAB中的卷积函数conv()来实现。

7.2.4LTI系统的单位冲激响应与impulse()函数

在LTI系统初始状态为零的条件下，由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

在MATLAB中，求解系统冲激响应，可以应用控制系统工具箱提供的单位脉冲响应函数impulse()，调用方式为：（1）[y,t]=impulse(sys)、[y,t]=impulse(b,a)：求解系统冲激响应，返回单位冲激响应向量y和时间向量t，sys是系统函数，也可以使用分母和分子系数向量b、a。

（2）y=impulse(sys,t)：返回单位冲激响应向量y，sys是系统函数，t是时间向量。（3）当使用不带输出参数的调用时，将直接在屏幕上绘制单位冲激响应曲线，可以在一个图形中绘制多个单位冲激响应曲线：impulse(sys1,sys2,...,sysN)impulse(sys1,sys2,...,sysN,t)（4）也可以为每个曲线指定线型、颜色等属性：impulse(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN')7.2.5连续系统的单位阶跃响应与step()函数连续时间系统的阶跃响应属于零状态响应，定义如下：

LTI系统在零状态条件下，以单位阶跃信号激励系统所产生的输出响应，称为单位阶跃响应，以符号表示。表达式为：g(t)=T[,{0}]

一般情况，若一阶系统的微分方程形式为：则单位阶跃响应为：

使用step()函数求LTI系统的阶跃响应。step()函数调用语法如下：

1.带输出参数调用当使用带输出参数调用该函数时，输出响应值，而不绘制响应曲线。其语法如下：（1）y=step(sys,t)：返回单位阶跃响应向量y，sys是系统函数，t是仿真的时间范围向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。y=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量。（2）[y,t]=step(sys)：返回单位阶跃响应向量y和时间向量t，sys是系统函数，自动选择仿真的时间范围。y=step(num,den)：给定num,den，求系统的阶跃响应并作图，时间向量t的范围自动设定。其中，num和den对应TF的分子和分母系数向量，即sys=tf(num,den)。2.无输出参数的调用如果不需要响应值，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用无输出参数的格式。>>sysH=tf([02],[12]);>>step(sysH)7.3连续系统的系统函数7.3.1连续系统的系统函数的定义在零状态条件下，系统零状态响应的单边拉普拉斯变换与系统输入的单边拉普拉斯变换之比为：（7.3.1）一般称H(s)为连续系统的系统函数，也称为转移函数、传递函数或网络函数，是连续系统的复频域描述，表征系统的复频域特性。由于系统函数只取决于系统本身的特性，而与系统的输入无关，所以连续信号的系统函数，在系统分析中具有重要意义。（7.3.2）当输入信号是单位冲激信号时，有即，冲激响应与转移函数间的关系如下：系统在单位冲激的激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应。系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换，即为连续系统s域的系统函数。系统函数与系统的单位冲激响应是一对s变换，即（7.3.3）系统函数H(s)只与系统本身的参数有关，而与系统的激励和响应形式无关。对于给定的系统，根据系统的激励和响应变量的不同，系统函数所代表的物理意义也不同：如电压增益、电流增益、转移阻抗等。系统函数一般以多项式形式出现：（7.3.4）、分别为分母和分子多项式的系数。7.3.2tf()函数求系统函数

使用tf()函数可以求连续或离散系统函数。

1.使用tf()函数获得连续系统的系统函数

LTI系统的模型sys（系统函数）可使用tf()函数获得。tf()函数的算法是将MATLAB多项式转换为零、极点和增益形式，然后再转换为状态空间求出系统函数。tf()函数的调用方式为：（1）tf：用于生成实数或复数形式的系统函数模型（TF对象），或把状态空间或零、极点形式转换为系统函数模型。（2）sys=tf(b,a)、sys=tf(num,den)：num代表连续系统函数的分子（numerator）多项式系数，den代表系统函数的分母（denominator）多项式系数。b、a分别是微分方程右端（输出）和左端（输入）的系数向量。TF对象存储在输出参数sys中。对于SISO系统，num、den是s的降幂多项式，其长度不一定相同。对于MIMO系统，应分别为每一个SISO指定分子、分母系数。

2.使用tf()函数获得s或z的有理表达式使用tf()函数可获得实数或复数值的s或z的有理表达式。语法如下：（1）s=tf('s')：指定以Laplace变量s表达的TF模型。例如：>>s=tf('s');>>H=s/(s^2+2*s+10)Transferfunction:s--------------s^2+2s+10（2）z=tf('z',Ts)：指定以离散时间变量z表达的TF模型，Ts是采样时间。7.3.3lsim()函数与微分方程的零状态解MATLAB中求解零初始条件微分方程数值解的函数是lsim()，gensig()函数产生测试信号，tf()函数获得系统模型。

1.gensig()函数gensig()函数为lsim()函数产生测试信号。其用法如下：（1）[u,t]=gensig(type,tau)：生成由type指定类型的标量信号u，t为采样时间向量。tau为周期（以秒为单位）。type可以使用以下类型的信号：'sin'：正弦波。'square'：方波。'pulse'：周期性脉冲。（2）[u,t]=gensig(type,tau,Tf,Ts)：Tf指定时间区间，Ts指定采样时间向量t的时间间隔。2.lsim()函数lsim()函数仿真LTI模型的零状态响应。其用法如下：（1）lsim(sys,u,t)：不带输出参数，可模拟对任意输入的连续或离散线性系统对时间的响应，并在屏幕上绘制响应曲线。（2）[y,t]=lsim(sys,u,t)：产生LTI模型sys的时间响应。

u表示系统输入信号向量，可为gensig()函数生成的测试信号。t表示计算系统响应的抽样点向量，为连续信号指定采样时间和规则的采样间隔：t=0:dt:Tfinal。系统模型sys可以是连续系统、离散系统、SISO（单输入单输出）或MIMO（多输入多输出）系统，sys可表示为微分方程、差分方程、状态方程等。如果不带等号左边的输出参数，则在屏幕上绘制响应曲线。（5）lsim(sys)：打开线性仿真工具的图形界面（LinearSimulationToolGUI）进行仿真。例7-3-3求图7-2-1所示系统的零状态响应。解：在例7-2-1中已求出系统函数为：，即b=[02]，a=[12]。用tf()函数和lsim()函数求系统的零状态响应。程序如下：>>t=0:0.01:3;>>sysH=tf([02],[12])>>x=heaviside(t);>>lsim(sysH,x,t)Transferfunction:2-----s+2绘制出零状态响应曲线与图7-2-3相同。7.4连续系统的频域分析法LTI系统的频域分析的内容主要包括求出表征系统频率特性的频率响应特征量和在频域求解信号通过系统的输出。利用系统频域函数分析系统的方法，称为频域分析法或傅立叶变换法。7.4.1频率响应H(j

)与频域分析法的定义频率响应H(j

)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j

)与激励f(t)的傅里叶变换F(j

)之比，即，（7.4.1）频率响应H(j

)是一个复函数，

H(j

)

是

的偶函数，θ(

)是

的奇函数。其模

H(j

)

称为幅度响应、幅频响应（或幅频特性）；其相角θ(

)称为相位响应、相频响应（或相频特性）。它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律。从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况。根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、简单直观。利用系统频域函数分析系统的方法，称为频域分析法或傅立叶变换法。7.4.2连续系统频域分析的方法频率响应一般有以下的求法：1.H(j

)=F[h(t)]，直接对冲激响应进行傅立叶变换。2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)，从输入激励、输出响应求出转移函数。由微分方程求响应，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。求出频率响应函数即可得到系统的响应。例7-4-1由微分方程求频率响应。某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)，求时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换，得：j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)则由于←→，故有取傅立叶变换得：取傅立叶逆变换得：傅里叶分析法从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差异，可以把系统看作是一个信号处理器，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚。引出重要意义在于研究信号传输的基本特性，简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。但用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换简单、容易。7.4.3低通滤波电路的幅频特性

滤波器是电子线路中最常见的电路之一，其功能就是允许某一部分频率的信号顺利通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制。在模拟电路中，常用R、L、C等元器件组成各种滤波电路，用于连续信号的滤波或选频。在信号的解调或对采样信号的恢复中都要使用低通滤波器，以滤除调制波或采样信号中的高频成分。例7-4-3低通滤波电路的幅频特性如图7-4-3所示，由一个电阻和一个电容组成的一个最简单、最基本的低通滤波电路，根据例7-4-2可知，输出电压V0与输入电压Vi的电压比（即幅度增益gam）为：

其中，w

=2pf，Vi是频率为f的正弦波输入电压。电阻R=100kΩ，电容C=1μF，RC=0.1。画出这个滤波器振幅与频率的关系图。解：振幅使用semilogy命令绘制对数标度频率响应。相位的取值范围小，可以使用线性标度，用semilogx来画相位响应图。R=100000;C=1.0E-6;%10kohms,1uFf=1:100;w=2*pi*f;res=1./(1+j*w*R*C);gam=abs(res);phase=angle(res);subplot(2,1,1);semilogy(f,gam);title('幅度响应');xlabel('(Hz)');ylabel('AmplitudeRatio');gridon;subplot(2,1,2);semilogx(f,phase);title('相位特性');xlabel('(Hz)');ylabel('Phase(rad)');gridon;得到的结果如图7-4-4所示，可见在高频部分电压衰减的多。

7.5连续系统的复频域分析法

在LTI连续时间系统分析中，拉普拉斯（Laplace）变换是一种非常重要的变换方法，是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。线性连续系统复频域分析的基本方法，是把系统的输入信号分解为基本信号est之和，其数学描述就是输入与响应的拉普拉斯变换和逆变换。7.5.1常见电路和元器件的复频域模型1.电阻元件电阻元件的时域模型和复频域模型，如图7-5-1(a)、(b)所示。电阻元件的时域欧姆定律为：（7.5.1）其拉普拉斯变换，即s域欧姆定律为：（7.5.2）

2.电感元件

图7-5-1电阻的时域模型和复频域模型电感元件的时域模型如图7-5-2(a)所示，复频域的串联、并联模型如图7-5-2(b)、(c)所示。电感元件的时域欧姆定律为：（7.5.3）其拉普拉斯变换，即s域电压欧姆定律为：（7.5.4）s域电流欧姆定律为：（7.5.5）其中：Ls为复感抗，1/Ls为复感纳。i(0-)/s为附加内电流，Li(0-)为附加内电压。

图7-5-2电感的时域模型和复频域模型3.电容元件电容元件的时域模型和复频域模型，如图7-5-3(a)、(b)、(c)所示。电容元件的时域欧姆定律为：

（7.5.6）

其拉普拉斯变换，即s域电流欧姆定律为：（7.5.7）s域电压欧姆定律为：（7.5.8）其中：1/Cs为复容抗。v(0-)/s为附加内电压，cv(0-)为附加内电流。4.基本运算器的时域和s域模型基本运算器包括数乘器、加法器和积分器，其时域和s域模型如图7-5-4所示。7.5.2系统复频域模型RLC系统是基本的LTI系统，由线性时不变电阻、电感、电容和线性受控源、独立电源组成的线性时不变系统。RLC系统复频域模型的建立和分析的基础，是基尔霍夫定律（KCL、KVL）和R、L、C元件电流电压关系(VAR)的复频域形式。

1.KCL、KVL的复频域形式

KCL和KVL的时域形式分别为：（7.5.9）设RLC系统电路中支路电流i(t)和支路电压v(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和V(s)，对上式取单边拉普拉斯变换，再由线性性质，得到（7.5.10）2.RLC系统的复频域模型及分析方法若把RLC系统中的激励和响应都用其象函数表示，R、L、C元件用其复频域的模型表示，就得到系统的复频域模型。在复频域中，RLC系统的激励与响应的关系是关于s的代数方程。例7-5-1求RLC电路的冲激响应。求如图7-5-5所示电路系统的冲激响应。解：由于系统函数H(s)与系统的单位冲激响应h(t)是一对s变换，因此对H(s)求拉氏逆变换即可求得h(t)，这比在时域求解微分方程要简便的多。根据如图7-5-4所示电路可得到s域模型如图7-5-6所示。设其初始状态为0，根据电路的s域模型，可直写出电路的系统函数：由此得到冲激响应为：7.5.3基于MATLAB的电路分析除了求解系统函数和微分方程外，MATLAB可以很方便的用于电路的一般分析，如进行复数运算、求解向量图和绘制幅频特性和相频特性等。常用的函数如下：real(A)：求复数或复数矩阵A的实部。imag(A)：求复数或复数矩阵A的虚部。conj(A)：求复数或复数矩阵A的共轭。abs(A)：求复数或复数矩阵A的模，可用于绘制幅频特性。angle(A)：求复数或复数矩阵A的相角，单位为弧度，可用于绘制相频特性。需要注意MATLAB应用弧度计算三角函数（sin、cos、tan等）、反三角函数（asin、acos、atan等），返回参数单位也是弧度。compass()函数可绘制向量图，调用格式：compass([i1,i2,i3…])，引用参数为相量构成的行向量。例7-5-3已知系统网络函数为，绘制幅频特性和相频特性。解：求绘制幅频特性和相频特性的方法之一，就是将s用jω代替，直接利用Matlab编程实现。程序如下：w=0:0.01:100;Hs=(j*w+3)./(j*w+1)./((j*w).^2+5*j*w+1);Hs_F=20*log10(abs(Hs));%幅频特性用dB表示Hs_A=angle(Hs)*180/pi;%将弧度转化为角度表示subplot(2,1,1);semilogx(w,Hs_F)ylabel('|H(jw)|');title('幅频特性(dB)');subplot(2,1,2);semilogx(w,Hs_A)ylabel('angle(jw)');title('相频特性(dB)');绘制幅频特性和相频特性，如图7-5-11所示。7.5.4拉普拉斯变换求解微分方程

拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表，即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。与线性常微分方程的经典求解方法相比，用拉普拉斯变换法求解电路有如下两个显著的特点：只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解，用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦，而应用拉氏变换就可省去这一步。这是由于电路微分方程变换为代数方程，电路的初始条件按附加电源处理，不需要专门求解t=0+时刻的初始值，因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了，全响应可一次求得，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分，不必按强制响应和固有响应、零输入响应和零状态响应求解。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s来代替微分方程中的d/dt，s2代替d