10.1.2　复数的几何意义 导学案正文

10.1.2复数的几何意义【学习目标】1.掌握复平面的定义,能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量;2.掌握复数模的几何意义及计算公式;3.掌握共轭复数的定义及几何意义,应用复数的几何意义解决有关问题,通过对复数几何意义的理解,培养数学抽象素养.◆知识点一复平面的定义与复数的几何意义1.复平面如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数z=a+bi↔点Z(a,b).建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为.

2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点;

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ=(以原点O为始点、Z(a,b)为终点的向量).

【诊断分析】1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应. ()(2)如果复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限. ()(3)相等的向量对应着相等的复数. ()2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是 ()A.(1,2) B.(-3,0)C.(0,0) D.(0,-2)◆知识点二共轭复数与复数的模1.共轭复数(1)共轭复数的概念:一般地,如果两个复数的实部,而虚部互为,则称这两个复数互为.

(2)共轭复数的表示:复数z的共轭复数用z表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有z=.

(3)互为共轭复数的几何意义:在复平面内,表示两个共轭复数的点关于;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为.

2.复数的模一般地,向量OZ=(a,b)的称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|z|.

【诊断分析】1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)复数的模总是非负数. ()(2)若z1=z2,则z1=z2=0. ((3)已知复数z=1-i,则z的共轭复数为1+i.()2.若复数z=a+bi(a,b∈R),则|z|有怎样的几何含义?3.复数中两虚数不能比较大小,它们的模呢?◆探究点一复数与复平面内的点的关系[探索]1.在复平面内,如何确定复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点所在的位置?

2.在复平面内,若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点在第一象限,则实数a,b应满足什么条件?我们可以得到什么启示?

例1当实数m分别为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限?(2)位于x轴的负半轴上?(3)位于y轴的正半轴上?变式(多选题)[2024·安徽铜陵高一期末]已知复数z=(m2-4m-5)+(m2+3m+2)i在复平面内对应的点为Z,则下列结论正确的是 ()A.若m=-1,则z为纯虚数B.若m=-2,则z为实数C.若m=32,则点Z在直线y=-xD.若-2<m<5,则点Z在第三象限[素养小结](1)复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复数所对应的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.(2)由复平面内满足某种条件的点的集合求参数的取值(或取值范围)时,通常是根据对应关系,列出方程(组)或不等式(组)求解.◆探究点二复数与复平面内向量的关系例2在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数.变式在复平面内,O为坐标原点,向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA对应的复数是 ()A.-5+5i B.5-5iC.5+5i D.-5-5i[素养小结](1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.拓展(1)在复平面内,O为坐标原点,向量OZ对应的复数是-1+i,将OZ绕点O按逆时针方向旋转π4,则所得向量对应的复数为 (A.-2 B.-2iC.-1 D.-i(2)[2023·北京丰台区高一期末]在复平面内,O为坐标原点,向量OZ1对应的复数是2-i,向量OZ2对应的复数是a-2i(a∈R),若OZ1⊥◆探究点三共轭复数例3(1)[2024·四川岳池中学高一月考]在复平面内,复数z=-1+i,则z对应的点位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)[2024·陕西汉中高一期末]已知复数z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,m∈R,且z=z,则m=()A.-1或3 B.-1或-2C.3 D.-2变式(多选题)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于1[素养小结]互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地,实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.◆探究点四复数的模例4已知复数z1=3+i,z2=-12+32(1)求|z1|及|z2|;(2)设z∈C,则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的复数z对应的点Z组成的集合是什么图形?变式(1)已知复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A.两条直线 B.一条直线和一个圆C.两个圆 D.一个圆(2)[2024·福建厦门双十中学高一月考]设z为复数,若|z+2i|≤1,则|z|的最大值为.

[素养小结]解决复数模的几何意义的问题,应根据复数模的定义|z|=|OZ|(O为坐标原点),依据|z|满足的条件,判断点Z的集合表示的图形,把复数模的问题转化为几何问题来解决.拓展在复平面内,复数z1=1+22i,z2=22-i,z3=-3+6i,z4=-2-7i对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4.判断这4个点是否在同一个圆上,并证明你的结论.1.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则 ()A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1C.a=0 D.a=2或a=02.若|x-i|=|1-2i|,则x= ()A.1 B.2 C.3 D.43.[2024·广东江门一中高一月考]已知a,b∈R,若a+i与-1+bi互为共轭复数,则 ()A.a=-1,b=1 B.a=-1,b=-1C.a=1,b=1 D.a=1,b=