11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 导学案答案

11.1.6祖暅原理与几何体的体积【课前预习】知识点一1.两个平行平面间平行于这两个平面总相等一定相等2.等底面积等高诊断分析解:(1)可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转化为长方体的体积.(2)祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法.知识点二底面积高底面积高上、下底面面积高诊断分析1.(1)×(2)√2.解:圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台的上、下底面半径接近相等时,圆台接近于圆柱,圆台的体积公式变为圆柱的体积公式;当圆台的上底面半径接近于零时,圆台接近于圆锥,圆台的体积公式变为圆锥的体积公式.V圆锥=13πr2hV圆台=13πh(r'2+r'r+r2)V圆柱=πr2h.知识点三4π诊断分析1.×2.解:设气球原来的半径为R,则气球原来的体积V=43πR3气球的半径扩大1倍后,半径变为2R,则气球扩大后的体积V'=43π(2R)3=8×43πR3=8V,所以将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的8【课中探究】探究点一例1(1)2873[解析]由题知正四棱台的上底面的对角线长为22,下底面的对角线长为42,侧棱长为3,所以正四棱台的高为32-42-2222=7(2)解:连接BD1,如图所示,则VA-BB1D1D=2VA-BD11=13×S△ABD×AA1=13×12×3×3×2=3(cm3),所以V变式(1)2(2)112a3[解析](1)设该正四棱台的上底面边长为2a,则斜高、下底面边长分别为5a,8a,所以该正四棱台的高为(5a)2-(4a-a)2=4a.又因为13×4a×(64a2+4a(2)由题意得S△A1D1E=12EA1·A1D1=14a2,三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,∴V三棱锥F-A1D1E=13·a·14a探究点二例2A[解析]设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,高为h,因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形,所以2πr=π2l,得l=4r.因为该圆锥的侧面积为4π,所以πrl=4πr2=4π,所以r=1,则l=4,所以底面圆的面积S=π×r2=π,圆锥的高h=l2-r2=15,故圆锥的体积V=13Sh=变式解:设上、下底面半径,母线长分别为r,R,l,作A1D⊥AB于点D,则A1D=3,∠A1AD=π3,∴AD=A1D∴R-r=3.∵BD=A1D·tanπ3=33,∴R+r=33,∴R=23,r=3,又∵高h=3,∴V圆台=13π(R2+Rr+r2)h=13π×[(23)2+23×3+(3)拓展解:如图所示,设OA与圆R相切于点E,连接ER,OR,设圆台的上、下底面半径分别为r',r.(1)∵2πr=π3×72,∴r=12cm在Rt△OER中,RE=r,OR=2r,∴OD=3r=36cm,∴AD=OA-OD=36(cm).(2)由(1)知2πr'=π3·3r,∴r'=6cm,则圆台的高h=AD2-(r-r')2=362-62=635(cm),∴圆台的体积V=13π(r'2+r'r+r2)h=13探究点三例3(1)B(2)A[解析](1)设截面圆的圆心为O',M为截面圆周上任一点,连接OO',O'M,OM,则OO'=2,O'M=1,∴OM=(2)2+1=3,即球O的半径为3,∴球O的体积V=43π×(3)(2)因为三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,所以三棱锥的外接球就是以PA,PB,PC为长、宽、高的长方体的外接球,因为PA=3,PB=2,PC=3,所以长方体的体对角线长为(3)2+(2)2+(3)2=22,所以外接球的直径是22,半径为2,所以所求外接球的体积V变式D[解析]设球的半径为R,正三棱柱底面三角形的内切圆的半径为r,则S底=12×6×6×sin60°=12r(6+6+6),解得r=3,所以R=3+(R-1)2,解得R=2,所以球的体积V=43π探究点四例4解:由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V四棱锥=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V四棱柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),所以仓库的容积V=V四棱锥+V四棱柱变式A[解析]由题可知,该玉琮的体积V=π×4×322-12+3×3×3-π×3×322=【课堂评价】1.B[解析]以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是底面半径为2,高为2的圆柱,所以所得到的几何体的体积V=π×22×2=8π.故选B.2.B[解析]四棱锥S-ABCD的高与正方体的高相等,底面与正方体的底面重合,根据柱体和锥体的体积公式得,四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的13,故选B3.B[解析]设小明用掉34的纸后,剩下的这卷纸的直径为xcm,卷纸高为hcm,则由题可知(π×62-π×22)h×14=π×x22-π×22h,解得x2=48,则x=43≈4×1.4.A[解析]设两个球的半径分别为r,R,则有4πr2∶4πR2=4∶9,∴r∶R=2∶3,∴两个球的体积之比为43πr3∶43πR3=r3∶R3=8∶27.故选5.152[解析]如图,连接EB