河南省部分学校2025-2026学年高二上学期开学考试 数学试卷

i3

（ 设集合M10,123}Nx|x3t1tM}MN（

某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条5月1723日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（777780ABCDA1B1C1D1EFGHA1D1B1C1BCAD的中点，则（直线HE与直线GF是异面直线 B．直线HE与直线BB1是异面直线C．直线HE与直线CC1共面 D．直线HE与直线BF共面已知 7，则sin2α（A．

B．

C．

D．P40MP处有一艘乙船在甲船的北偏东75M处的甲船需要航行的最短距离是（ 海 B． 海 C．403海 D．30海 1

4xyABxADACyAEDEBCF

BC， （

已知向量m和ab均不共线，且mxaybxyR，则向量ab可以是（a2,4,b1,a3,2,b3,a0,2,b φ 4 4 3x11,xfxlnx,x

gxfxmx1x2x3x4x1x2x3x4则（m的取值范围是

3x13x22x3x4的最小值是 D．m越大，x3x4的值越某校有36个班，每班有45人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手”决．在这个问题中样本 ABCDEF，是由六个直角边长分别为2cm与23cm制造该几何体，则该几何体的质量为g.（π表示）某校举行了交通安全知识竞，初时，每位参选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复.复时，每位参选手回答2道题（与初时的题目不同，若2道题都答对，则进入决，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞， 已知甲初时答对每道题的概率均为3， 时答对每道题的概率均为2，且各题答对与否互不影求甲进入决的概率2道题的概率V

a2

A，B，Ca，b，c

B已知sinA3sinCVABCfxlogaxloga6x（a0，且a1．fx若f41，求afxf2x31，在VABCBC22，∠B=60ACDEACABDEDE3DE将△AED折起至△FEDFBCDEFC6若CFBCDE所成的角为60FECD的余弦值. 6tan1xπ 6

3在0π上的解集为A，求A1a2fx2sinxa2asinx1①fx在02π②fx0在02πBB根据复数的运算法则及模的公式求解即可【详解】由i3i5i2ii22iii2ii3i52i2N，再由集合的交运算求集合分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可根据平均数，极差，中位数和百分位数的定义进行计算 C7天每天运动时长从小到大排列为45586070,8092,100，770C错误；D选项，因为780%5.680692，D正确.HEGF的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置EFGHA1D1B1C1BCADHEGFHEGFPHE与直线GFPBB1P；与直线CC1BF是异面直线.根据弦切互化，以及二倍角公式即可求解 sinαcosαsin2α 【详解】 7故sin2α2

sin根据题设画出示意图，利用正弦定理可得MC∘∘40

sin

sinPCM因此MC 40sin30∘

（海里M处的甲船需要航行的最短距离是

海里

1 4

1 4 AF答案

AC

ABAF

yAE

xAD，利用共线定理的推论得到y

x1BFAFABBCACAB

1

1 1

1 4BF

BCAFAB

AC

ABAF

AC

AB 1 4ABxADACyAEAF5yAE5xADDEF1y4x 故4xy5.a,根据条件可得a,a,【详解】由题意得，a,a,∵1133100，∴ 不共线，a, a24b12，a2b，故ab为共线向量，B错误a,3223120，∴ 不共线，a, a02b0,1，a2b，故ab为共线向量，D错误.A，由图数据得VCMN边长，求出ωB，由点C坐标求出φCx7D，由A：如图，因为VCMN为等边三角形，且高为23所以边长为4，所以T4T8，ω2ππ，A A233πφπ2kπkZ，解得φπ2kπk 又φπ，所以φπ，B Cfx23sinπxπf723sinπ7π23sin3π23，C Dfx的图象向左平移2y23sinπx2π23sinπxπ 4 4gx23sinπxπ的图象重合，D 4 ABxx1Cyxxx1C,D的对错3 A:fx的大致图象，由图可知0m1A错误Bxxxx，所以3x113x110lnxlnx0 所以3x13x22xx1B正确 3C1x1，所以2xx2x122 当且仅当x 2,x2时，等号成立，则C正确 Dyxxx1在1,1上单调递减

因为mx3x3x4D正确样本容量是36个班一共选派的总人数13．根据抽象函数求定义域的方法求解即可x23x132fx的定义域为32，x132x4,1fx1的定义域为4,1，外部正六边形的边长为23cm部分）AF的中垂线l旋转一周得到的几何体的体积，乘以密度即可求解.【详解】外部正六边形的边长为23cm，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半径为3cm底面半径为23cm，高为3cm体积为213π3223232342πcm3 内部的六边形边长为圆锥的底面半径为3cm1cm，圆柱的底面半径为3cm，高为2cm内部的六边形旋转得到的几何体的体积为211

所以该几何体的体积为42π8π34πcm3，用密度为5gcm3的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为34π5=170πg.15．(1)(2)分别求得甲初答对2题进入决的概率与甲初答对1题进入决的概率，利用互斥事件的和事的概率公式可求甲进入决的概率分甲初答对2题，甲初答对1题，复答对2题，甲初答对1题，复答对1题三种情况求解2道题的概率.【详解（1）甲 答对2题进入 的概率为2243 甲初答对1题进入决的概率为22121113 3

2 所以甲进入 的概率415 （2）甲 答对2题的概率2243 甲初答对1题，复答对2题的概率为22121113 3

2 甲初答对1题，复答对1题的概率为2212211123 3

2 2 24217

16．(1)B(2)证明见解析利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得由（1）的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证（1）

V

a2

a2

a2c2

0B整理得bac3ac，由余弦定理得cosB ， Bπ

（2）由sinA

3sinC及正弦定理，得a

3c，由（1）知b2a2c2

因此b2c2，即bc，所以VABC是等腰三角形.17．(1)062分a1和0a1x（1）由题意得6x解得0x6fx的定义域为06f4loga4loga2loga2得loga21或

a1，解得a

2当a1ylogax，在06y6x在06yloga6x在06上为减函数，fxlogaxloga6x是增函数，fxf2x3，得02x3x63x3fxf2x3的解集为33 当0a1ylogax在06y6x在06yloga6x在06上为增函数，fxlogaxloga6x是减函数，fxf2x3，得0x2x36解得3x9fxf2x3的解集为39 2 综上：当a1时，解集为33 当0a1时，解集为39 2 (2)7（1）①证明：如图，在VABCAB的中点为G，连接GDGD是VABCBC22B=60，所以GD2EGD120

sin

sinEGD sin

，解得sinGED 2因为EGD120EDGD，所以GEDDEAC的垂直平分线，所以VADEDEADDC3DEFDDEDCFC6FD2DC2FC2，所以△FDC是等腰直角三角形FDEDFDDCEDDCDEDDCBCDEFDBCDEBEBCDEBEBCDEFDBE延长ED至点Q，使得DQED ，则DQCFDPPDFD3，则DPQ45因为BED135DQC45，所以CQBECQBEFBEBEF，所以CQ//BEF，因为EFD45DPQ45PQEFPQBEFEFBEF，PQ//BEF，因为CQPQ相交于Q，且CQPQ平面CPQ所以平面CPQBEF因为CP平面CPQ，所以CPBEFDDMCE于M，过M作MNCE，交CFNDN则DMNFECD的平面角EDFDEDCDFD与CDDFD,CDFCD.EDFCD.ED所以CD是直线CFBCED的投影，故FCD即为CFBCDE所成角，所以FCD60因为FDDC ，所以FC 因为DEDC ，EDCD，且M为CE的中点，所以CMDM62因为EFCE ，FC ，故cosECF 22在VCMNCMN90cosMCN

2，CM6 所以MN

42，CN23在△CDN中，DCN60，CN23，CD ，所以DN3在VDMNDN3DM

6，MN

42 642由余弦定理得cosDMNDMMNDN 2DM

26 FECD的余弦值为719．(1)(2)①4π；②（1）由题意得

3tan1xπ 3 得πkπ1xππkπkZ，得2kπx2π2kπkZ x0π，所以0x2πA02π故A2π02π

3（2）①1a21a1111 由2sinxa2asinx10，得sinxa或sinx1 所以方程sinxasinx1在02π fx在02π4设sinxaxxxxsinx1xxxx 1 3 得0xπxπx3πx2π xx2ππxx23π3π x1x2x3x4π3π4πfx在02π上的零点之和为4π②fx0，得sinxa或sinx