函数单调性的试题及答案

函数单调性的试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=2x+1\)在\(R\)上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增2.函数\(y=-3x\)的单调区间是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\(R\)D.无单调区间3.函数\(y=x^2\)在区间\((-\infty,0)\)上是（）A.增函数B.减函数C.不增不减D.无法判断4.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，\(x_1\)，\(x_2\in[a,b]\)且\(x_1<x_2\)，则有（）A.\(f(x_1)<f(x_2)\)B.\(f(x_1)>f(x_2)\)C.\(f(x_1)=f(x_2)\)D.无法确定5.函数\(y=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增6.下列函数中，在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=-x^3\)B.\(y=x^4\)C.\(y=3x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)7.函数\(f(x)=2x-5\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.不存在8.若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)内\(f^\prime(x)>0\)，则\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增9.函数\(y=x^2-2x+3\)的单调递减区间是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)10.函数\(y=\sqrt{x}\)在其定义域上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案：1.A2.C3.B4.A5.B6.C7.A8.A9.A10.A多项选择题（每题2分，共10题）1.以下函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=3x+1\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.函数\(y=x^3\)的性质正确的有（）A.在\(R\)上单调递增B.是奇函数C.单调递减区间为\((-\infty,0)\)D.单调递增区间为\((0,+\infty)\)3.下列函数中，单调区间为\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=|x|\)D.\(y=x^3\)4.若函数\(f(x)\)在区间\([m,n]\)上单调递减，那么（）A.\(f(m)\geqf(n)\)B.\(f^\prime(x)\leq0\)在\((m,n)\)内恒成立（若可导）C.对任意\(x_1\)，\(x_2\in[m,n]\)且\(x_1<x_2\)，有\(f(x_1)>f(x_2)\)D.函数\(f(x)\)在\([m,n]\)上的图象从左到右是下降的5.以下关于函数单调性说法正确的是（）A.函数单调性是局部性质B.一个函数在不同区间上单调性可能不同C.单调函数的图象一定是上升或下降的D.若函数在某区间内既有增区间又有减区间，则该函数不是单调函数6.函数\(y=-x^2+4x\)的单调区间说法正确的是（）A.单调递增区间是\((-\infty,2)\)B.单调递减区间是\((2,+\infty)\)C.单调递增区间是\((2,+\infty)\)D.单调递减区间是\((-\infty,2)\)7.下列函数中，在定义域内是单调函数的有（）A.\(y=5x\)B.\(y=-\frac{1}{x}\)C.\(y=x^2+1\)D.\(y=2^x\)8.函数\(y=\log_2x\)的性质有（）A.定义域为\((0,+\infty)\)B.在定义域上单调递增C.单调递减区间不存在D.图象过点\((1,0)\)9.对于函数\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x>0\)，说法正确的是（）A.在\((0,1)\)上单调递减B.在\((1,+\infty)\)上单调递增C.有最小值\(2\)D.是单调函数10.已知函数\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)\)满足：当\(x\in(a,b)\)时，\(f^\prime(x)>0\)；当\(x\in(b,c)\)时，\(f^\prime(x)<0\)，则（）A.\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增B.\(f(x)\)在\((b,c)\)上单调递减C.\(x=b\)是\(f(x)\)的一个极值点D.\(f(x)\)在\((a,c)\)上不是单调函数答案：1.ABD2.AB3.BC4.ABCD5.ABCD6.AB7.AD8.ABCD9.ABC10.ABCD判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=5\)是单调函数。（）2.若函数\(f(x)\)在区间\(A\)和\(B\)上都单调递增，则\(f(x)\)在\(A\cupB\)上也单调递增。（）3.函数\(y=x^2\)在\(R\)上是单调递增函数。（）4.函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内\(f^\prime(x)<0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递减。（）5.单调函数一定有反函数。（）6.函数\(y=\frac{1}{x+1}\)的单调递减区间是\((-\infty,-1)\)和\((-1,+\infty)\)。（）7.若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增且\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内有零点。（）8.函数\(y=|x|\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。（）9.函数\(y=x^3-1\)在\(R\)上单调递增。（）10.增函数与增函数的和还是增函数。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√简答题（每题5分，共4题）1.简述判断函数单调性的方法。答案：定义法：在定义域内任取\(x_1\)，\(x_2\)，比较\(f(x_1)\)与\(f(x_2)\)大小；导数法：若\(f^\prime(x)>0\)，函数单调递增，\(f^\prime(x)<0\)，函数单调递减；图象法：通过函数图象判断增减趋势。2.求函数\(y=x^2-4x+3\)的单调区间。答案：对函数求导得\(y^\prime=2x-4\)。令\(y^\prime>0\)，即\(2x-4>0\)，解得\(x>2\)，所以单调递增区间是\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，解得\(x<2\)，单调递减区间是\((-\infty,2)\)。3.函数\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上单调递减且\(f(1)=5\)，\(f(3)=1\)，若\(f(x)=2\)，求\(x\)的取值范围。答案：因为函数\(f(x)\)在\([1,3]\)单调递减，\(f(1)=5\)，\(f(3)=1\)，\(f(x)=2\)，\(1<2<5\)，所以\(x\)的取值范围是\((1,3)\)。4.说明函数\(y=-x^3\)的单调性。答案：对\(y=-x^3\)求导得\(y^\prime=-3x^2\leq0\)，当且仅当\(x=0\)时取等号。所以函数\(y=-x^3\)在\(R\)上单调递减。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x^2}\)的单调性。答案：函数定义域为\(x\neq0\)。对函数求导得\(y^\prime=-\frac{2}{x^3}\)。当\(x>0\)时，\(y^\prime<0\)，函数在\((0,+\infty)\)单调递减；当\(x<0\)时，\(y^\prime>0\)，函数在\((-\infty,0)\)单调递增。2.已知函数\(f(x)\)在区间\(I\)上单调递增，\(g(x)\)在区间\(I\)上单调递减，讨论\(f(x)-g(x)\)在区间\(I\)上的单调性。答案：设\(x_1\)，\(x_2\inI\)且\(x_1<x_2\)。因为\(f(x)\)递增，则\(f(x_1)<f(x_2)\)；\(g(x)\)递减，则\(g(x_1)>g(x_2)\)。那么\([f(x_2)-g(x_2)]-[f(x_1)-g(x_1)]=[f(x_2)-f(x_1)]+[g(x_1)-g(x_2)]>0\)，所以\(f(x)-g(x)\)在区间\(I\)上单调递增。3.讨论如何根据函数单调性求函数的值域。答案：先确定函数定义域及单调区间，若