函数的极值与最大（小）值（第二课时）+学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用5.3.2·函数的极值与最大（小）值（第二课时）学习指导课标要求核心素养重难分析1、理解函数最值的概念，明确最值与极值的区别与联系2、掌握利用导数求闭区间上连续函数最值的方法与步骤3、能运用函数的最值解决实际生活中的优化问题通过学习函数的最值，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数求函数最值，提升数学运算、数学建模素养重点函数最值的概念最值与极值的区别与联系难点利用导数求闭区间上连续函数最值的步骤能将复杂的实际问题转化为函数的最值问题新知导入在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果x0是某个区间上函数y=f(x)在下图中左图、右图中，观察[a,b]上的函数y=一般地，如果在区间[a,b结合上图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f知识清单知识点一函数的最值1.函数的最值：一般地，如果在区间_____________上函数的图象是一条_____________的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有_____________连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.2.一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在区间_____________上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是_____________，最小的一个是_____________.3.可以按如下步骤画出函数的大致图象：

（1）求出函数的定义域；

（2）求导数及函数的________；

（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；

（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出的大致图象．例题讲解例1求函数f(x)=小结：一般地，求函数y=f(（1）求函数y=f(x)在区间(a,例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．

思考：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当课堂练习1．下列命题中，真命题是（）A．函数的最大值一定不是该函数的极大值B．函数的极大值可以小于该函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D．函数在开区间内不存在最大值和最小值2.函数在上的最大值是()A. B.0 C. D.3.已知函数的最小值为1，则()A.1 B. C.e D.4.已知函数，则在上的最小值是()A. B.0 C. D.5.已知函数，，若，则的最小值为()A. B. C. D.6.函数在上的值域是()A. B. C. D.7.如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是____________.课后练习1．函数在区间上的最小值是（

）A． B． C． D．2.已知，，，则的最小值为()A.2 B. C. D.53．(多选）已知，，且，则下列结论正确的是（

）A.的最小值是4；

B.恒成立；C.恒成立；

D.的最大值是．4.已知函数，则的最小值是_____________.5.已知函数，则的最大值为_______________.6.若关于x的不等式恒成立，则a的最小值是________________.7.若存在，使得成立，则实数a的最小值为______________.8.已知函数.（1）求在上的最小值;（2）当时，恒成立，求正整数k的最大值.答案以及解析知识清单1.连续不断极值2.最大值最小值3.零点例题讲解解：由上一节课例题可知，在区间[0,3]上，当x=2时，函数f(x)=又由于f(0)=4,f(3)=1,所以，函数f(x例题2.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y所以f′(r)=0.8πr2−2r.令f′(r)=0，解得r=2．当r∈(0,2)（1）半径为6cm时，利润最大．

（2）半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0课堂练习1．B【分析】根据最值与极值的关系直接判断.【解析】解：函数的最大值有可能是函数的极大值,故A错误;函数的极大值可以小于该函数的极小值,故B正确;函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值,故C错误;函数在开区间内有可能存在最大值和最小值,故D错误.故选:B.2.答案：B解析：由题，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故选：B.3.答案：A解析：函数的定义域为，，当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数，此时无最小值，当时，由，得，由，得，所以函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值，即，故.故选：A.4.答案：C解析：因为在区间上恒成立，当且仅当时，取等号，所以在区间上单调递减，则在上的最小值是，故选：C.5.答案：C解析：设，则，，所以，令，则，令，函数单调递减，令，函数单调递增，所以，即的最小值为.故选：C.6.答案：C解析：由求导，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，，，，所以函数在上的最大值为，因此函数在上的值域是.故选：C.7.答案：解析：，则，令，得或.当时，，则为增函数；当时，，则为减函数.当时，取得最大值为a，得，又，.在上，的最小值为.故答案为：.课后练习1．B【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值．【解析】解：因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，，得函数在区间上的最小值是．故选：B．2.答案：C解析：，，，，则，，设，其中，，令，解得：，当时，；当时，；当时，取到极小值，也是最小值为：.3．BCD【分析】A.利用基本不等式求解判断；B.令，得到，用导数法判断；C.利用基本不等式结合对数运算求解判断；D.由，令，用导数法求解判断.【解析】A.,当且仅当，即，即等号成立，而，故错误；B.令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故正确；C.因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，则，故正确；D.因为，令，则，令，解得当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故正确．故选：BCD4.答案：解析：.令，得，即在区间内单调递增;令，得，即在区间内单调递减.则.5.答案：解析：函数的定义域为R，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值.6.答案：解析：由于，则原不等式可化为，设，则，当时，，递增;，，递减，可得在处取得极大值，且为最大值.所以，则a的最小值为.7.答案：解析：由题知，令，即，因为存在，使得成立，所以，令，，所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，，所以实数a的最小值.8.答案：（1）.（2）2解析：（1）由题意，，在中，，当时，解得，若，则当时，，函