《一元二次方程单元小结（第一课时）》课件

第1课时一元二次方程小结九年级上册初中数学1.一元二次方程的定义：

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．知识梳理4.解一元二次方程的方法一元二次方程的解法适用方程直接开平方法(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程配方法所有一元二次方程公式法所有一元二次方程因式分解法能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论(1)若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.(2)以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.重难剖析

-1解：一元二次方程的概念m=-1未知数的最高次数是2二次项系数不为0m-1≠0m2+1=2解：根据题意得，x=0是原方程的根所以m2-1=0，解得m=±1.又二次项系数不能为0，所以m≠1，即m=-1.例2若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=

.-1这种解题方法我们称之为“有根必代”.例3解下列方程

(1)x2+x-1=0;

(2)(x-3)2=-2x(x-3).解：(1)a=1,b=1,c=-1∴Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5，根据方程的特征选择适当的方法进行解答，若多种方法都可以，则选择自己擅长的方法进行解答.，.例3解下列方程

(1)x2+x-1=0; (2)(x-3)2=-2x(x-3).解：(2)(x-3)2=-2x(x-3)移项,得(x-3)2+2x(x-3)=0,因式分解,得(x-3)(3x-3)=0,∴x1=3，x2=1.本题可以移项、因式分解，也可以化成一般式后用配方法或公式法，但是不能两边同除以(x-3).解：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三边长为9或4．∵9，3，6不能构成三角形，4，3，6能构成三角形，∴三角形的周长为3+4+6=13．例4三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为()A.13 B.15

C.18

D.13或18A例5关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一个实数根.

由①得m≠1.由②得

Δ=(-2)2-4(m-1)×1解得m<2.∴m<2且m≠1.=8-4m>0.例5关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0.(2)若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一个实数根.解：(2)

把x＝-1代入原方程，得

(m-1)×(-1)2-2×(-1)+1＝0.

解方程，得m＝-2.∴原方程为-3x2-2x+1=0.

解方程，得x1=-1，x2=∴m＝-2，方程的另一个实数根为x=例6已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解：根据根与系数的关系可知

m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2

=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.化为含m+n与mn的形式

1.填空(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

.4-20(2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1能力提升一般式：4x2-2x=0把x=2代入方程，得4+2p-2=0，解得p=-1．2.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为()A.16 B.12

C.16或12D.24A解：方程x2-7x+12=0可化为(x-3)(x-4)=0，所以x-3=0或x-4=0，解得x1=3，x2=4，因为菱形ABCD的一条对角线长为6，所以边AB的长是4，所以菱形ABCD的周长为16．3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求：写出必要解题步骤).

3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).

4.下列所给方程中，没有实数根的是()A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0

4.下列所给方程中，没有实数根的是()A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0D5.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

(1)证明：Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k+3)2-8k-8=k2-2k+1=(k-1)2.

∵(k-1)2≥0，∴方程总有两个实数根.5.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

(2)解：即x1=k+1，x2=2.∵方程有一个根小于1，∴k+1<1，∴k<0，∴k的取值范围是k<0.

A解：因为方程

2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2，

1.等号两边都是整式,只含有

未知数(一元),并且未知数的最高次数是

(二次)的方程,叫做一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式是

,其中

是二次项,

是二次项系数;

是一次项,

是一次项系数;____

是常数项.

4.将方程6x2=5x-3化成一般形式是

,其中二次项是

,一次项系数是

,常数项是

.

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的

.

6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是

.

一个

2①④

ax2+bx+c=0(a≠0)

ax2

a

bxbc6x2-5x+3=0

6x2

-53根-3,21.一元二次方程的识别【例1】

下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(

)C.ax2+bx+c=0

D.x2+2x=x2-1解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中的方程,因为分母中含有未知数,不是整式方程,所以它不是一元二次方程;选项C中若a=0,则未知数的最高次数低于2,因此,不能确定该方程是不是一元二次方程;选项D中的方程化简后二次项系数为0,是一个一元一次方程,故只有A中的方程满足一元二次方程的各种条件.答案:A点拨:判断一个方程是不是一元二次方程,首先把方程化简成一般形式,再看未知数是否只有一个,再次看未知数的最高次数是不是2,最后注意看是不是整式方程,以上条件只要有一个不满足,该方程就不是一元二次方程.另外,当方程中含有字母系数(即参数)时,应区分未知数和字母.如若说“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其他字母均是常数.2.一元二次方程的根的应用【例2】

已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0,求实数m的值.分析:根据方程的解的意义可知,当x=0时,方程左右两边相等,此题即是求当x=0时m的值.解:将x=0代入方程中,得(m-2)×02+3×0+m2-4=0,整理得m2=4.根据平方根的意义知m=±2.因为方程为关于x的一元二次方程,所以m-2≠0,即m≠2.故m的值为-2.点拨本题一定要注意,当方程是一元二次方程时,二次项系数不为0这一前提条件,即m-2≠0.678123451.若关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程,则实数m的取值范围是(

)A.任意实数 B.m≠-1C.m>1 D.m>0答案答案关闭B678123452.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为(

)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0答案解析解析关闭根据题意,剩余的长方形空地的长为(x-1)m,宽为(x-2)m,故可列出方程为(x-1)(x-2)=18.答案解析关闭C67812345答案解析解析关闭答案解析关闭678123454.一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为

.

答案答案关闭5678123455.下列关于x