2026高考物理总复习题库：增分微点5　平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动

平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动

一、平抛运动的临界极值问题

常见的三种临界特征

(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在

着临界点。

(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程

中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。

(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在

着极值，这个极值点往往是临界点。

例1(多选)如图1所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿

垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的

运动为平抛运动，下列判断正确的是()

图1

A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2

B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8

C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则

乒乓球落在球网的右侧

D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则

乒乓球落在球网的左侧

答案BD

12

解析从击球点到球网，有x＝v0t1，h1＝gt1，从击球点到右侧边缘，有3x＝v0t2，

2

12h29

h2＝gt2，击球点的高度与球网的高度之比为＝，故A错误，B正确；乒

2h2－h18

乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，由空间位置关系可知，

转动后乒乓球要想过网，乒乓球到达网的高度时水平位移需要增大，若球抛出的

初速度大小不变，从击球点抛出运动到球网高度时，球的水平位移不变，未能过

网，则乒乓球落在球网的左侧，故C错误，D正确。

例2(2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一

跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，

石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同

学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子

在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)

答案2gh

tanθ

解析设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空

2

气阻力，石子做平抛运动，竖直方向有vy＝2gh

vy

可以观察到“水漂”时，有tanθ≥

v0

2gh

联立解得v0≥

tanθ

2gh

即抛出速度的最小值为vmin＝。

tanθ

二、空间抛体运动

例3(多选)(2022·山东卷，11)如图2所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s

的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零

时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分

量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，

网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为()

图2

A.v＝5m/sB.v＝32m/s

C.d＝3.6mD.d＝3.9m

答案BD

2

解析设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v0竖直＝2g(H－h)

代入数据得v0竖直＝2×10×（8.45－1.25）m/s＝12m/s

22

则v0水平＝13－12m/s＝5m/s

v0竖直

网球击出点到P点水平方向的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6m

g

4

根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·＝4m/s

5

3

平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3m/s

5

反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3m/s

22

则反弹后的网球速度大小为v＝v水平⊥′＋v0水平∥＝32m/s

2H2×8.45

网球落到地面的时间t′＝＝s＝1.3s

g10

着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9m

故B、D正确，A、C错误。

1.如图1所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB与水平地面之间的

夹角为45°，A点到地面的距离为5m，已知重力加速度g取10m/s2，空气阻力

不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2m的C点以水平速度v0跳出，要到达直杆，

水平速度v0至少为()

图1

A.3m/sB.4m/s

C.5m/sD.6m/s

答案D

解析运动轨迹与杆相切时如图所示，AC之间的距离为5m－3.2m＝1.8m，由

12

图可知x＝y＋1.8m，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt，平抛运动的轨迹与直

2

杆相切，则v0tan45°＝gt，联立解得v0＝6m/s，故D正确。

2.(2024·河南开封模拟)如图2所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h

＝5m，内径D＝1.6m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方向

以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度

g＝10m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间不计)，

则小球的初速度v0可能是()

图2

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

12h

解析根据平抛运动的规律可知，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝1s，而根

2g

2n＋1

据题意，水平方向有D＝v0t(n＝0，1，2，…)，解得v0＝0.8(2n＋1)m/s(n

2

＝0，1，2，…)，因此v0的可能值为0.8m/s、2.4m/s、4.0m/s、5.6m/s、7.2m/s、

8.8m/s，故B正确。

3.如图3所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小

孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，

小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不

计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是()

图3

A.水从小孔P射出的速度大小为gy

B.y越小，则x越大

C.x与小孔的位置无关

h

D.当y＝时，x最大，最大值为h

2

答案D

解析取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy＝

1

mv2，解得v＝2gy，A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y

2

12（h－y）

＝gt2，解得x＝v＝2y（h－y），可知x与小孔的位置有关，由数

2g

1

学知识可知，当y＝h－y，即y＝h时，x最大，最大值为h，并不是y越小x越

2

大，D正确，B、C错误。

4.(2024·山东潍坊高三期末)如图4所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将一

小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C′点，且在C′

点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在DD′中点E，

且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则()

图4

A.v1∶v2＝1∶1B.v1∶v2＝1∶2

C.tanθ1∶tanθ2＝1∶1D.tanθ1∶tanθ2＝2∶1

答案A

解析根据题意，设正方体的棱长为a，由几何关系可知，当沿AC方向抛出时，

2212

水平位移为x1＝a＋a＝2a，则有2a＝v1t1，竖直方向上有a＝gt1，解得v1

2

v11

＝ag，在C′点时的竖直分速度为v1y＝gt1＝2ag，则有tanθ1＝＝，当沿

v1y2

a12

AD方向抛出时，水平方向上有a＝v2t2，竖直方向上有＝gt2，v2y＝gt2，解得v2

22

v2

＝ag，v2y＝ag，则有tanθ2＝＝1，则v1∶v2＝1∶1，tanθ1∶tanθ2＝1∶2，

v2y

故A正确。

5.如图5所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度

为h，发射器O′A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0

水平发射出去，其中2gh≤v0≤22gh，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，

乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°角的范围内来

回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大

面积S是()

图5

A.2πh2B.3πh2

C.4πh2D.8πh2

答案C

122h

解析根据平抛运动规律h＝gt，解得t＝，以最小速度v1＝2gh发射的乒

2g

2h1

乓球，水平位移最小，为x1＝v1t＝2gh＝2h，对应的与桌面相碰区域的圆

g4

半径为r1＝h＋x1＝3h；以最大速度v2＝22gh发射的乒乓球，水平位移最大，为

2h1

x2＝v2t＝22gh＝4h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r2＝h＋x2＝5h，

g4

1

乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S＝π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故C正确。

4

6.(2024·广东茂名高三期中)如图6，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝

2|AA1|，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同

方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，则小球

()

图6

A.抛出速度最大时落在B1点

B.抛出速度最小时落在D1点

C.落在B1D1中点的速度与落在D1点的速度相等

D.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等

答案D

122h

解析设AA1高度为h，由h＝gt得t＝，则从抛出到落在B1D1线段上任

2g

x

何一点所需的时间都相等，D正确；设平抛的水平位移为x，抛出速度v0＝，落

t

在C1点水平位移最大，因此抛出速度最大时落在C1点，A错误；水平位移小于

2

A1D1时，比落在D1点抛出速度更小，落在A1点的抛出速度最小，B错误；由vy＝

2gh得，落在B1D1中点的竖直方向分速度与落在D1点的竖直方向分速度均为vy

＝2gh，落在B1D1中点时水平位移大于落在D1点时的水平位移，可知落在B1D1

22

中点的水平分速度大于落在D1点的水平速度，由v＝vx＋vy得，落在B1D1中点

的速度大于落在D1点的速度，C错误。

7.(多选)(2024·山东临沂模拟)如图7所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中

点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)，球

员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，

重力加速度大小为g。下列说法正确的是()

图7

－L2

A.足球位移OP的大小为＋h2