辽宁省2025年成人高校招生考试数学(理)综合训练题库及答案

辽宁省2025年成人高校招生考试[数学(理)]综合训练题库及答案一、集合与简易逻辑1.集合的基本运算例1：已知集合\(A=\{x|-2<x<3\}\)，\(B=\{x|0<x<5\}\)，求\(A\capB\)，\(A\cupB\)。解：-\(A\capB\)就是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合。-因为\(A=\{x|-2<x<3\}\)，\(B=\{x|0<x<5\}\)，所以\(A\capB=\{x|0<x<3\}\)。-\(A\cupB\)是由属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的所有元素组成的集合。-则\(A\cupB=\{x|-2<x<5\}\)。例2：设集合\(M=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(N=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(M\cupN=M\)，求实数\(a\)的值。解：-先求解集合\(M\)：-对于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(M=\{1,2\}\)。-再求解集合\(N\)：-对于方程\(x^2-ax+a-1=0\)，因式分解得\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a-1\)，所以\(N=\{1,a-1\}\)。-因为\(M\cupN=M\)，所以\(N\subseteqM\)。-那么有\(a-1=1\)或\(a-1=2\)。-当\(a-1=1\)时，\(a=2\)；当\(a-1=2\)时，\(a=3\)。-综上，实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)。2.简易逻辑例3：判断命题“若\(x^2-3x+2=0\)，则\(x=1\)”的真假，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假。解：-原命题：当\(x^2-3x+2=0\)时，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，并不一定只是\(x=1\)，所以原命题为假命题。-逆命题：“若\(x=1\)，则\(x^2-3x+2=0\)”。-把\(x=1\)代入\(x^2-3x+2\)得\(1^2-3\times1+2=0\)，所以逆命题为真命题。-否命题：“若\(x^2-3x+2\neq0\)，则\(x\neq1\)”。-因为\(x^2-3x+2\neq0\)时，\(x\neq1\)且\(x\neq2\)，所以\(x\neq1\)成立，否命题为真命题。-逆否命题：“若\(x\neq1\)，则\(x^2-3x+2\neq0\)”。-当\(x=2\)时，\(x^2-3x+2=0\)，所以逆否命题为假命题。二、函数1.函数的定义域、值域例4：求函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\ln(2-x)\)的定义域。解：-要使函数有意义，则需满足：-对于\(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)，分母不为\(0\)且根号下的数大于\(0\)，即\(x-1>0\)，解得\(x>1\)。-对于\(\ln(2-x)\)，真数大于\(0\)，即\(2-x>0\)，解得\(x<2\)。-综合可得\(1<x<2\)，所以函数的定义域为\((1,2)\)。例5：求函数\(y=x^2-2x+3\)，\(x\in[0,3]\)的值域。解：-先将函数\(y=x^2-2x+3\)进行配方：-\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)。-分析函数单调性：-函数图象开口向上，对称轴为\(x=1\)。-当\(x=1\)时，\(y\)取得最小值\(y_{min}=(1-1)^2+2=2\)。-当\(x=3\)时，\(y=3^2-2\times3+3=6\)；当\(x=0\)时，\(y=0^2-2\times0+3=3\)，比较\(6\)和\(3\)大小，\(6>3\)，所以\(y\)的最大值为\(y_{max}=6\)。-所以函数的值域为\([2,6]\)。2.函数的单调性与奇偶性例6：判断函数\(f(x)=x^3+\frac{1}{x}\)的奇偶性，并证明其在\((0,+\infty)\)上的单调性。解：-奇偶性判断：-函数\(f(x)\)的定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)关于原点对称。-\(f(-x)=(-x)^3+\frac{1}{-x}=-x^3-\frac{1}{x}=-(x^3+\frac{1}{x})=-f(x)\)，所以函数\(f(x)\)是奇函数。-单调性证明：-设\(0<x_1<x_2\)，则\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1^3+\frac{1}{x_1})-(x_2^3+\frac{1}{x_2})\)-\(=(x_1^3-x_2^3)+(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)-\(=(x_1-x_2)[(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)-\frac{1}{x_1x_2}]\)。-因为\(0<x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)，\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0\)，\(\frac{1}{x_1x_2}>0\)，且\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-\frac{1}{x_1x_2}>0\)，所以\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。-所以函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。三、数列1.等差数列例7：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_{10}\)和\(S_{10}\)。解：-设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。-根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)。-用第二个方程减去第一个方程消去\(a_1\)得：\((a_1+6d)-(a_1+2d)=13-5\)，即\(4d=8\)，解得\(d=2\)。-把\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。-求\(a_{10}\)：-根据通项公式\(a_{10}=a_1+9d=1+9\times2=19\)。-求\(S_{10}\)：-根据等差数列求和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_{10}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。2.等比数列例8：已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。解：-设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)。-根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，可得\(\begin{cases}a_1q=2\\a_1q^4=16\end{cases}\)。-用第二个方程除以第一个方程得：\(\frac{a_1q^4}{a_1q}=\frac{16}{2}\)，即\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。-把\(q=2\)代入\(a_1q=2\)，得\(a_1\times2=2\)，解得\(a_1=1\)。-求\(a_n\)：-由通项公式可得\(a_n=a_1q^{n-1}=1\times2^{n-1}=2^{n-1}\)。-求\(S_n\)：-当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。-因为\(q=2\)，所以\(S_n=\frac{1\times(1-2^n)}{1-2}=2^n-1\)。四、三角函数1.三角函数的基本概念与诱导公式例9：已知角\(\alpha\)的终边经过点\(P(-3,4)\)，求\(\sin\alpha\)，\(\cos\alpha\)，\(\tan\alpha\)的值。解：-已知点\(P(-3,4)\)，则\(x=-3\)，\(y=4\)。-根据\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，可得\(r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)。-根据三角函数定义：-\(\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}\)。-\(\cos\alpha=\frac{x}{r}=-\frac{3}{5}\)。-\(\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}\)。例10：化简\(\frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tan(\pi-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}\)。解：-根据诱导公式：-\(\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\cos\alpha\)。-则原式\(=\frac{(-\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\tan\alpha)}{(-\sin\alpha)(-\cos\alpha)}=-\tan\alpha\)。2.三角函数的图象与性质例11：求函数\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的周期、振幅、初相，并画出它在一个周期内的图象。解：-周期：-对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。-振幅：-由函数\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)可知振幅\(A=2\)。-初相：-初相为\(\varphi=-\frac{\pi}{3}\)。-图象绘制：-令\(2x-\frac{\pi}{3}=0\)，解得\(x=\frac{\pi}{6}\)；令\(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)，解得\(x=\frac{5\pi}{12}\)；令\(2x-\frac{\pi}{3}=\pi\)，解得\(x=\frac{2\pi}{3}\)；令\(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}\)，解得\(x=\frac{11\pi}{12}\)；令\(2x-\frac{\pi}{3}=2\pi\)，解得\(x=\frac{7\pi}{6}\)。-列表：|\(x\)|\(\frac{\pi}{6}\)|\(\frac{5\pi}{12}\)|\(\frac{2\pi}{3}\)|\(\frac{11\pi}{12}\)|\(\frac{7\pi}{6}\)||---|---|---|---|---|---||\(2x-\frac{\pi}{3}\)|\(0\)|\(\frac{\pi}{2}\)|\(\pi\)|\(\frac{3\pi}{2}\)|\(2\pi\)||\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)|\(0\)|\(2\)|\(0\)|\(-2\)|\(0\)|-然后根据列表中的点，用光滑曲线连接起来，就得到函数在一个周期\([\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)内的图象。五、平面向量1.向量的线性运算例12：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，求\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)。解：-根据向量数乘运算，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，则\(k\overrightarrow{a}=(kx_1,ky_1)\)。-所以\(3\overrightarrow{a}=3(1,2)=(3,6)\)，\(2\overrightarrow{b}=2(-3,4)=(-6,8)\)。-再根据向量减法运算，若\(\overrightarrow{m}=(x_3,y_3)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_4,y_4)\)，则\(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}=(x_3-x_4,y_3-y_4)\)。-那么\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(3,6)-(-6,8)=(3-(-6),6-8)=(9,-2)\)。2.向量的数量积例13：已知\(\overrightarrow{a}=(1,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,1)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert\)以及\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角\(\theta\)的余弦值。解：-向量数量积：-根据向量数量积公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，这里\(x_1=1\)，\(y_1=-1\)，\(x_2=2\)，\(y_2=1\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+(-1)\times1=1\)。-向量模长：-根据向量模长公式\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)；\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)。-夹角余弦值：-根据向量夹角余弦公式\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}\)，则\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)。六、直线和圆的方程1.直线方程例14：求经过点\(P(2,-1)\)，且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。解：-已知直线\(2x-y+1=0\)，其斜率\(k=2\)。-因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线斜率也为\(2\)。-由点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\((x_0,y_0)\)为直线上一点，\(k\)为直线斜率），已知点\(P(2,-1)\)，\(k=2\)，则所求直线方程为\(y-(-1)=2(x-2)\)，即\(2x-y-5=0\)。2.圆的方程例15：已知圆的方程为\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)，求圆心坐标和半径。解：-将圆的方程\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)进行配方。-\(x^2-4x+y^2+6y=3\)，\((x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9\)。-即\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)。-根据圆的标准方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（其中\((a,b)\)为圆心坐标，\(r\)为半径），可得圆心坐标为\((2,-3)\)，半径\(r=4\)。七、圆锥曲线1.椭圆例16：已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率以及焦点坐标。解：-由椭圆方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)可知\(a^2=25\)，\(b^2=9\)，则\(a=5\)，\(b=3\)。-根据\(c^2=a^2-b^2\)，可得\(c=\sqrt{25-9}=4\)。-长轴长：\(2a=2\times5=10\)。-短轴长：\(2b=2\times3=6\)。-焦距：\(2c=2\times4=8\)。-离心率：\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。-焦点坐标：因为焦点在\(x\)轴上，所以焦点坐标为\((\pm4,0)\)。2.双曲线例17：已知双曲线\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程。解：-由双曲线方程\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)可知\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，则\(a=4\)，\(b=3\)。-根据\(c^2=a^2+b^2\)，可得\(c=\sqrt{16+9}=5\)。-实轴长：\(2a=2\times4=8\)。-虚轴长：\(2b=2\times3=6\)。-焦距：\(2c=2\times5=10\)。-离心率：\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)。-渐近线方程：对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，所以渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。3.抛物线例18：已知抛物线\(y^2=8x\)，求其焦点坐标和准线方程。解：-对于抛物线\(y^2=2px(p>0)\)，其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。-由\(y^2=8x\)可知\(2p=8\)，则\(p=4\)。-所以焦点坐标为\((2,0)\)，准线方程为\(x=-2\)。八、空间向量与立体几何1.空间向量的运算例19：已知空间向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,4,-6)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)和\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。解：-向量数量积：-根据空间向量数量积公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)，这里\(x_1=1\)，\(y_1=-2\)，\(z_1=3\)，\(x_2=-2\)，\(y_2=4\)，\(z_2=-6\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-2)+(-2)\times4+3\times(-6)=-2-8-18=-28\)。-向量模长：-根据空间向量模长公式\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)。2.利用空间向量求空间角例20：在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求异面直线\(A_1B\)与\(B_1C\)所成角的余弦值。解：-以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_1\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。-设正方体棱长为\(1\)，则\(A_1(1,0,1)\)，\(B(1,1,0)\)，\(B_1(1,1,1)\)，\(C(0,1,0)\)。-所以\(\overrightarrow{A_1B}=(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,-1)\)，\(\overrightarrow{B_1C}=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1)\)。-设异面直线\(A_1B\)与\(B_1C\)所成角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{B_1C}}{\vert\overrightarrow{A_1B}\vert\vert\overrightarrow{B_1C}\vert}\vert\)。-先求\(\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{B_1C}=0\times(-1)+1\times0+(-1)\times(-1)=1\)。-再求\(\vert\overrightarrow{A_1B}\vert=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)，\(\vert\overrightarrow{B_1C}\vert=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)。-所以\(\cos\theta=\vert\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\vert=\frac{1}{2}\)。九、排列、组合与二项式定理1.排列组合例21：从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选出\(3\)人参加某项活动，要求至少有\(1\)名女生参加，有多少种不同的选法？解：-方法一：直接法。-分三种情况：-选\(1\)名女生\(2\)名男生，选法有\(C_3^1\timesC_5^2=3\times\frac{5!}{2!(5-2)!}=3\times10=30\)种。-选\(2\)名女生\(1\)名男生，选法有\(C_3^2\timesC_5^1=3\times5=15\)种。-选\(3\)名女生\(0\)名男生，选法有\(C_3^3=1\)种。-所以共有\(30+15+1=46\)种不同的选法。-方法二：间接法。-从\(8\)人中选\(3\)人的选法有\(C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=56\)种。-没有女生参加即选\(3\)名男生的选法有\(C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10\)种。-所以至少有\(1\)名女生参加的选法有\(56-10=46\)种。2.二项式定理例22：求\((2x+\frac{1}{x})^6\)展开式中的常数项。解：-根据二项式\((a+b)^n\)的通项公式\(T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r\)，对于\((2x+\frac{1}{x})^6\)，\(a=2x\)，\(b=\frac{1}{x}\)，\(n=6\)，则\(T_{r+1}=C_6^r(2x)^{6-r}(\frac{1}{x})^r\)。-化简\(T_{r+1}=C_6^r\times2^{6-r}\timesx^{6-r}\timesx^{-r}=C_6^r\times2^{6-r}\timesx^{6-2r}\)。-令\(6-2r=0\)，解得\(r=3\)。-把\(r=3\)代入\(T_{r+1}\)得：\(T_4=C_6^3\times2^{6-3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}\times8=20\times8=160\)。-所以展开式中的常数项为\(160\)。十、概率与统计初步1.概率例23：甲、乙两人射击，甲击中目标的概率为\(0.8\)，乙击中目标的概率为\(0.7\)，两人同时射击，求：(1)两人都击中目标的概率；(2)至少有一人击中目标的概率。解：-设“甲击中目标”为事件\(A\)，“乙击中目标”为事件\(B\)，则\(P(A)