13.3.1.1三角形的内角和课件-人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：13.3.1.1三角形的内角和副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]趣味提示：我们身边的三角尺、屋顶框架、交通警示牌都藏着三角形，今天一起揭开三角形内角和的秘密！幻灯片2：课程导入情境展示：呈现3组生活中的三角形实物图：①学生常用的等腰直角三角尺（30°、60°、90°）；②屋顶的等腰三角形钢架；③自行车车架的普通三角形结构。提问引导：大家观察三角尺，能说出它三个角的度数吗？（引导学生回答30°+60°+90°=180°，45°+45°+90°=180°）那屋顶钢架、自行车车架的三角形，三个角加起来也是180°

吗？所有三角形的内角和都相等吗？带着这些疑问，我们开启今天的探究之旅。幻灯片3：认识三角形的内角概念解析：三角形的内角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，一个三角形有3个内角，通常用∠A、∠B、∠C表示（结合锐角三角形示意图标注）。三角形的内角和：3个内角的度数之和，即∠A+∠B+∠C。思考铺垫：我们已经知道特殊三角尺的内角和是180°，普通三角形的内角和是否也为180°？接下来通过实验验证。幻灯片4：实验探究-验证三角形内角和（一）：剪拼法实验目的：通过剪拼三角形的内角，直观验证内角和是否为180°。实验器材：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各1张（每人或每组1套）、剪刀、直尺。实验步骤：取任意一个三角形纸片，标记三个内角为∠1、∠2、∠3；用剪刀分别剪下三个内角；将三个内角的顶点重合，把它们拼合在一起（提示：使三个角的一条边在同一条直线上）；观察结论：引导学生观察拼合结果——三个内角刚好能拼成一个平角（180°），无论锐角、直角还是钝角三角形，均满足此规律。展示图片：呈现不同三角形剪拼后的平角示意图，强化直观认知。幻灯片5：实验探究-验证三角形内角和（二）：测量法实验目的：通过测量内角的度数并求和，进一步验证三角形内角和。实验器材：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片（与上一实验一致）、量角器。实验步骤：选择任意一个三角形，用量角器分别测量三个内角的度数（注意：量角器的中心与角的顶点重合，0°

刻度线与角的一条边重合）；将三个内角的度数记录在表格中，并计算度数之和；更换其他类型的三角形，重复上述操作，记录数据。数据记录表格：|三角形类型|∠1的度数|∠2的度数|∠3的度数|内角和（∠1+∠2+∠3）||----|----|----|----|----||锐角三角形||||||直角三角形||||||钝角三角形|||||实验结论：虽然测量存在微小误差，但三组数据均接近180°，结合剪拼实验可初步推断：三角形的内角和是180°。幻灯片6：理论证明-三角形内角和定理过渡引导：实验验证具有直观性，但数学结论需要严谨的理论证明。如何用已学的“平行线性质”证明三角形内角和为180°

呢？证明过程（结合示意图讲解）：已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠ACB=180°。辅助线作法：过点C作AB的平行线CD（辅助线用虚线表示，标注“CD∥AB”）。证明推导：因为CD∥AB（已作），所以∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）；因为CD∥AB（已作），所以∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）；因为∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°（平角的定义）；所以∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代换）。定理总结：经过证明，我们得到三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°。幻灯片7：例题讲解-利用内角和求角度例题1（基础应用）：已知在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，求∠C的度数。解题步骤：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°；代入已知条件：60°+40°+∠C=180°；计算得：∠C=180°-60°-40°=80°。答案：∠C的度数为80°。例题2（含直角三角形）：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度数。解题步骤：直角三角形中，有一个角为90°（∠C=90°）；根据内角和定理：∠A+∠B+90°=180°；代入得：35°+∠B=90°，所以∠B=90°-35°=55°。结论：直角三角形的两个锐角互余（此结论可作为推论补充）。幻灯片8：课堂练习-巩固应用基础题：在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，求∠B的度数。已知一个三角形的三个内角之比为1:2:3，求这个三角形三个内角的度数（提示：设三个角分别为x、2x、3x）。提升题：3.在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+20°，求△ABC三个内角的度数。解题提示：第1题：利用∠B=∠C，设∠B=∠C=x，代入内角和公式求解；第2题：根据比例设未知数，结合内角和为180°

列方程；第3题：用∠B表示∠A和∠C，再代入定理列方程。互动设计：请3名学生分别完成1道题，在黑板上书写解题过程，师生共同订正。幻灯片9：易错点提醒测量误差混淆：实验测量时，因量角器精度或操作问题，结果可能略偏离180°，但不能因此否定内角和定理（强调定理的理论严谨性）；辅助线作法：证明时辅助线需用虚线，并注明作法（如“过点C作CD∥AB”），避免遗漏关键步骤；直角三角形锐角互余：注意“互余”是指两个角之和为90°，不可与“互补”（和为180°）混淆。幻灯片10：课堂小结核心知识回顾：三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°；验证方法：剪拼法（直观）、测量法（初步验证）、理论证明（严谨，借助平行线性质）；应用：已知两个角求第三个角，直角三角形两锐角互余；解题思路：通过设未知数、列方程，利用内角和定理求解角度。幻灯片11：课后作业完成课本对应练习题（如习题13.3第1、2题）；实践任务：找一个生活中的三角形物体（如三角警示牌、三明治），测量其三个内角的度数并求和，验证内角和定理；拓展思考：一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？为什么？（结合内角和定理分析）【2024新教材】2025-2026学年人教版数学

八年级上册

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13.3.1.1三角形的内角和第十三章

三角形aiTujmiaNg复习1.三角形三边的关系：2.三角形具有____________.3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm，a的取值范围是什么？稳定性4<a<8三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新知

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？探究新知知识点三角形的内角和剪拼ABC21探究新知测量48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°探究新知锐角三角形三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知还有其他的拼接方法吗？三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.探究新知同学们还有其他的方法吗？【思考】

多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.探究新知12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.探究新知试一试

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结

为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线探究新知例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，

∠B=75°，

AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点1探究新知如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.变式题探究新知如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)

＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°D巩固练习如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°C巩固练习例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.探究新知

直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°巩固练习l1l2基本图形由三角形的内角和定理易得

∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.归纳总结探究新知34例3

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x＋

15)，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.素养考点2方程的思想与三角形内角和定理的综合应用探究新知方法点拨：三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.变式题探究新知解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.探究新知②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是

_________三角形.

①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°，

∠C=∠A+10°，

则∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°巩固练习完成下列各题.解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.北.AD北.CB.东E例4

如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）素养考点3探究新知解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–

∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC=

∠ABE–

∠EBC=100°–40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°–

∠ABC–

∠CAB=180°–60°–30°

=90°，答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E探究新知如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？巩固练习解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，∴∠ABD＝60°.又∵∠DBE＝90°，∴∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，∴∠ACE＝90°–40°＝50°.∴∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.巩固练习（2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______．解析：∵CD是边AB上的高，

∴∠CDB=∠CDA=90°.

∵∠BCD=30°，∠ACB=80°，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°.

∴∠CAB=90°-∠ACD=40°.

∵AE是∠CAB的平分线​，∴∠EAB=∠CAB=20°.

∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°．100°链接中考1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50课堂检测基础巩固题3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=

．100°课堂检测1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，

∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠