第七节　指数函数-2026版高考数学一轮总复习

第七节指数函数高中总复习·数学课标要求

1.

通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.

能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数

函数的单调性与特殊点.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

指数函数的概念函数y＝

（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，

定义域是R，a是底数.提醒形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做

指数型函数，只有k＝1时，y＝ax才是指数函数.ax

2.

指数函数的图象与性质底数a＞10＜a＜1图象

性质定义域为

，值域为

⁠图象过定点

⁠当x＞0时，恒有y＞1；当

x＜0时，恒有0＜y＜1当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜

0时，恒有y＞1

⁠函数

⁠函数R

（0，＋∞）

（0，1）

增

减

提醒指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分

a＞1与0＜a＜1来研究.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.

（

√

）（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.

（

×

）（3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.

（

√

）√×√2.

（苏教必修一P145例3（2）改编）函数y＝ax＋2＋1（a＞0，且a≠1）

的图象过定点（

）A.

（－1，1）B.

（2，1）C.

（－2，2）D.

（2，－2）解析：

令x＋2＝0，则x＝－2，此时y＝a－2＋2＋1＝2，故函数y＝ax＋

2＋1的图象过定点（－2，2），故选C.

√3.

〔多选〕下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（

）A.

y＝x2C.

y＝2xD.

y＝3x－1

√√4.

（人A必修一P119习题3题改编）已知2x－1＜23－x，则x的取值范围

是

⁠.解析：由指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围

是（－∞，2）.

（－∞，2）

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

指数函数的图象及应用（师生共研过关）

（1）设a，b为实数，a＞0，a≠1.已知函数y＝ax＋b的图象如图

所示，则下列结论正确的是（

B

）BA.

a＞1，b＜0B.

a＞1，b＜－1C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，b＜－1解析：

由题图可知函数y＝ax＋b为增函数，即a＞1，所以a的取值

范围为（1，＋∞）；由题图可知当x＝0时，有y＝a0＋b＝1＋b＜0，解

得b＜－1，所以b的取值范围为（－∞，－1）.

解题技法有关指数函数图象问题的解题策略（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象

是否过这些点，若不满足，则排除；（2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图

象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底

数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

√2.

已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝

⁠.解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2｜x＋a｜＝2｜

－x＋a｜.根据指数函数的单调性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有当a＝

0时，等式恒成立.故a＝0.0

指数函数的性质及应用（定向精析突破）考向1

比较指数式的大小

（人A必修一P117例3改编）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝

0.40.5，则（

）A.

a＞b＞cB.

a＞c＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞a解析：

由指数函数y＝0.3x在定义域内是减函数，得a＜b，由幂函数

y＝x0.5在定义域内是增函数，得c＞b.√解题技法比较指数式大小的方法（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小.考向2

解简单的指数方程或不等式

[－3，

1]

解析：依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x

－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－

5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x

＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2.（2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零

点为

⁠.2

解题技法解指数方程或不等式的依据及方法（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g

（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a

＜1时，等价于f（x）＜g（x）；（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，

再利用函数单调性转化为一般不等式求解.

1.

（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，

b，c的大小关系为（

）A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞b＞cD.

b＞a＞c解析：

∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞

1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞

0.60.5，故a＞c.故选D.

√

（－∞，4]

指数型函数性质的综合问题（师生共研过关）

（1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，

1）上单调递减，则实数a的取值范围是（

D

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，0）C.

（0，2]D.

[2，＋∞）D

B.

∀x∈R，有f（－x）＝f（x）C.

f（x）在R上是减函数D.

f（x）的值域为（－1，1）AD

解题技法指数型函数问题的求解策略

对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af（x）的函

数的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：若a＞1，则函数f

（x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；

若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单

调递减（增）区间.

1.

若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f

（－4）与f（1）的关系是（

）A.

f（－4）＞f（1）B.

f（－4）＝f（1）C.

f（－4）＜f（1）D.

不能确定解析：

由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数

的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）.√

C.3D.2√

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习1.

已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，

则实数a＝（

）B.1D.2

12345678910111213141516√2.

（2024·天津高考5题）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则

a，b，c的大小关系为（

）A.

a＞b＞cB.

b＞a＞cC.

c＞a＞bD.

b＞c＞a解析：

由函数y＝4.2x是增函数可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜

0，故b＞a＞c，故选B.

√123456789101112131415163.

若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是

（

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，＋∞）C.

（－∞，－1]D.

[－1，＋∞）

√123456789101112131415164.

已知函数f（x）＝1＋2x－｜1－2x｜，则f（x）的值域是（

）A.

（－∞，2]B.

（0，2]C.

（0，3]D.

[1，2]解析：

①当x≤0时，0＜2x≤1，所以f（x）＝1＋2x－1＋2x＝2·2x，

又因为0＜2x≤1，所以0＜2·2x≤2，所以0＜f（x）≤2；②当x＞0时，2x

＞1，所以f（x）＝1＋2x＋1－2x＝2.综上，f（x）的值域为（0，2].故

选B.

√12345678910111213141516

A.

[0，6]B.

[－2，0]C.

[6，＋∞）D.

（6，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

函数f（x）在R上是增函数B.

函数f（x）g（x）是奇函数C.

函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称D.

g（2x）＝[f（x）]2＋[g（x）]2√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

[2，6]

12345678910111213141516

（1）求f（x）的单调区间；

12345678910111213141516

10.

已知f（x）＝2x－2－x，则使f（x）＜f（－3x2＋4）成立的实数x的

取值范围是（

）

√1234567891011121314151611.

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（－x0）＝－f

（x0），则称f（x）为“局部奇函数”.已知f（x）＝－aex－1在R上为

“局部奇函数”，则a的取值范围是（

）A.

[－1，＋∞）B.

（－∞，－1]C.

[－1，0）D.

（－∞，1]

√1234567891011121314151612.

〔多选〕已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是

（

）A.

a＜bB.

若a＜0，则b＜a＜0C.

｜a｜＜｜b｜D.

若0＜a＜log32，则ab＜ba解析：

如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜

b或者b＜a＜0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0

＜a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D

正确.√√√12345678910111213141516

1234567891011121314151614.

已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是

奇函数.（1）求实数k的值；解：

∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.12345678910111213141516（2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）

＞0，求实数m的取值范围.

12345678910111213