第12章全等三角形章末复习课件华东师大版数学八年级上册

第12章

全等三角形

章末复习（华东师大版八年级上册数学）一、章节知识框架（思维导图式梳理）

二、核心知识点精讲（含判定逻辑与应用要点）（一）全等三角形的概念与对应关系：基础前提对应关系的确定方法方法1：根据全等符号表示（如△ABC≌△DEF，对应顶点A↔D、B↔E、C↔F，对应边AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF，对应角∠A↔∠D、∠B↔∠E、∠C↔∠F）；方法2：根据图形特征（如公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长边与最长边、最短边与最短边为对应边；最大角与最大角、最小角与最小角为对应角）。示例：如图，△ABC≌△CDA，公共边AC为对应边，则对应顶点A↔C、B↔D、C↔A，对应边AB↔CD、BC↔DA，对应角∠B↔∠D。关键强调：对应关系是后续性质应用与判定的核心，若对应关系找错，会导致边、角相等关系判断错误（如误将非对应边当作相等边）。（二）全等三角形的性质：“全等”即“对应全相等”核心性质应用场景直接应用：已知两个三角形全等，求未知边或角的长度/度数。示例：若△ABC≌△A'B'C'，AB=5cm，∠A=60°，则A'B'=5cm，∠A'=60°；衍生性质应用：利用“对应中线、高、角平分线相等”简化证明。示例：若△ABC≌△DEF，AM、DN分别为BC、EF边上的中线，因BC=EF，BM=1/2BC，EN=1/2EF，故BM=EN，结合AB=DE、∠B=∠E，可证△ABM≌△DEN，进而得AM=DN（也可直接用衍生性质得出）。注意：周长与面积相等是全等三角形的“必要不充分条件”——全等三角形周长、面积一定相等，但周长、面积相等的三角形不一定全等（如一个锐角三角形和一个钝角三角形可能周长、面积相等但形状不同）。（三）全等三角形的判定定理：几何证明的“核心工具”五大判定定理的适用场景与易错点对比判定定理条件要求适用场景易错点SSS三边对应相等已知三边长度；或通过计算/转化得到三边相等忽略“对应”，仅看三边相等（如△ABC的三边为3,4,5，△DEF的三边为3,5,4，需确认对应关系）SAS两边及其夹角对应相等已知两边及夹角；或能构造“两边夹一角”误将“两边及其中一边的对角”当作SAS（即SSA，不能判定全等，如两边为3,4，非夹角为30°，可画出两个不同三角形）ASA两角及其夹边对应相等已知两角及夹边；或已知两角及其中一角的对边（可转化为ASA）混淆“夹边”与“对边”，如误将“两角及其中一角的对边”当作ASA（实际为AAS，虽也能判定，但逻辑需准确）AAS两角及其中一角的对边对应相等已知两角及非夹边；由三角形内角和可转化为ASA与ASA的条件混淆，需明确“对边”的对应关系HL斜边+一条直角边对应相等仅适用于直角三角形，已知斜边和一条直角边用于非直角三角形（如锐角三角形）；或忽略“斜边”，用两条直角边判定（实际为SAS，非HL）判定思路：“缺什么，证什么”步骤：①分析已知条件（边、角），确定已有哪些对应相等的元素；②对照判定定理，判断还需补充哪些条件；③通过公共边、公共角、对顶角、角平分线、垂直平分线等隐含条件，或通过平行线性质、三角形内角和等推导所需条件。示例：已知AB∥CD，AB=CD，求证△ABC≌△CDA。分析：已知AB=CD（一边），隐含公共边AC=CA（另一边），需补充夹角相等；由AB∥CD，得∠BAC=∠DCA（内错角相等），故用SAS可证全等。三、高频易错点辨析（含错误示例+修正方案）对应关系错误导致判定/性质应用失误错误示例：如图，△ABC≌△ADE，误认为∠B=∠E（实际对应顶点A↔A、B↔D、C↔E，故∠B=∠D，∠C=∠E）；修正：根据全等符号或图形重合特征确定对应顶点，再找对应角，避免凭直观位置判断。误用SSA或AAA判定全等错误示例1：已知△ABC中AB=3，BC=4，∠A=30°；△DEF中DE=3，EF=4，∠D=30°，判定△ABC≌△DEF（误用SSA）；修正：SSA不能判定全等，可画图验证——以B为圆心，4为半径画弧，与从A出发的30°

角的另一边有两个交点，可形成两个不同三角形，故无法判定全等。错误示例2：已知△ABC与△DEF的三个角分别为60°、70°、50°，判定两三角形全等（误用AAA）；修正：AAA只能判定三角形相似，不能判定全等（如边长为2的等边三角形和边长为3的等边三角形，三角相等但不全等）。直角三角形判定中混淆HL与SAS错误示例：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4；Rt△DEF中∠F=90°，DE=3，EF=4，用HL判定△ABC≌△DEF；修正：HL需“斜边+直角边”，此处AC、BC为直角边，DE、EF也为直角边，应使用SAS判定（AC=DE，∠C=∠F，BC=EF），而非HL。四、综合例题解析（覆盖证明与实际应用）例题1：全等三角形的判定与性质综合证明题目：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为AC、AB边上的高，求证：BD=CE。解析：方法一：用AAS判定全等已知AB=AC（一边），BD、CE为高，故∠ADB=∠AEC=90°（两角为直角）；公共角∠A=∠A（一角）；在△ADB和△AEC中：\(\begin{cases}∠ADB=∠AEC\\∠A=∠A\\AB=AC\end{cases}\)，故△ADB≌△AEC（AAS）；由全等三角形对应边相等，得BD=CE。方法二：用面积法辅助（结合性质）△ABC的面积可表示为S=1/2×AB×CE，也可表示为S=1/2×AC×BD；因AB=AC，故1/2×AB×CE=1/2×AC×BD→CE=BD（此方法更简洁，需结合全等性质理解面积相等的本质）。例题2：全等三角形的实际应用（测量距离）题目：如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明设计如下方案：①在池塘外取一点C，连接AC、BC；②分别延长AC至D，BC至E，使CD=AC，CE=BC；③连接DE，测量DE的长度，即为AB的距离。请说明该方案的合理性。解析：方案合理性需证明AB=DE，可通过证明△ABC≌△DEC实现；已知条件：AC=CD（构造的相等边），BC=CE（构造的相等边）；隐含条件：∠ACB=∠DCE（对顶角相等，为夹角）；在△ABC和△DEC中：\(\begin{cases}AC=CD\\∠ACB=∠DCE\\BC=CE\end{cases}\)，故△ABC≌△DEC（SAS）；由全等三角形对应边相等，得AB=DE，因此测量DE的长度即可得到AB的距离（此为“构造全等三角形测不可达距离”的经典方法）。例题3：多步全等证明（含辅助线构造）题目：如图，已知AB=CD，AD=BC，求证：AB∥CD。解析：要证AB∥CD，需证内错角相等（如∠BAC=∠DCA），可通过证明△ABC≌△CDA实现；已知AB=CD，AD=BC（两组边相等），需补充一组边或一组夹角相等；连接AC（构造公共边，辅助线常用方法），得AC=CA（公共边）；在△ABC和△CDA中：\(\begin{cases}AB=CD\\BC=AD\\AC=CA\end{cases}\)，故△ABC≌△CDA（SSS）；由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠DCA；内错角相等，两直线平行，故AB∥CD。五、章节检测（分层巩固，含答案）基础题（10分钟完成）已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=7，则△DEF的周长为______，面积与△ABC的面积关系是______。如图，∠B=∠D，AB=AD，若要证△ABC≌△ADC，还需补充的条件是______（写出一个即可，如∠BAC=∠DAC或BC=DC）。直角三角形全等的判定方法有______（填所有适用的判定定理，如SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。提升题（15分钟完成）如图，已知AD∥BC，AD=BC，AE=CF，求证：△ADF≌△CBE。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB中点，DE⊥DF，分别交AC、BC于E、F，求证：DE=DF。答案18（5+6+7）；相等；∠BAC=∠DAC（ASA）或BC=DC（SAS）；SSS、SAS、ASA、AAS、HL；证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C（内错角相等）；∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF→AF=CE；在△ADF和△CBE中：\(\begin{cases}AD=BC\\∠A=∠C\\AF=CE\end{cases}\)，故△ADF≌△CBE（SAS）；证明：连接CD，∵∠ACB=90°，AC=BC，D为AB中点，∴CD=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∠ACD=∠B=45°，CD⊥AB；∵DE⊥DF，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，故∠EDC=∠FDB；在△CDE和△BDF中：\(\begin{cases}∠ECD=∠B\\CD=BD\\∠EDC=∠FDB\end{cases}\)，故△CDE≌△BDF（ASA），得DE=DF。六、复习总结与方法建议知识串联：全等三角形是几何证明的“桥梁”——通过证明三角形全等，可将未知的边、角关系转化为已知的对应边、对应角关系，为后续学习等腰三角形、平行四边形等奠定基础。解题技巧：①证明前先明确“目标”（如证边相等、角相等），再逆向推导“需证哪两个三角形全等”；②遇隐含条件（公共边、对顶角等）及时标注，辅助线构造优先考虑“补全全等条件”（如连接公共边、作高构造直角三角形）；③直角三角形优先尝试HL，非直角三角形根据边、角条件选择SSS、SAS、ASA、AAS。易错防范：①始终关注“对应关系”，避免凭位置直观判断；②严格区分SSA与SAS，牢记AAA、SSA不能判定全等；③书写证明过程时，条件需按判定定理顺序排列（如SAS需先写两边，再写夹角），逻辑清晰。【2025-2026学年】华东师大版

数学八年级上册

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章末复习第12章

全等三角形aiTujmiaNg思维导图大单元串联

全等三角形是几何学习的关键基石.在本章节中，我们一同探索了全等三角形的奇妙世界，经历观察、操作与推理的过程，收获了学习新知的研究方法，锻炼了逻辑推理与空间想象能力，为将来解决更复杂的几何问题奠定坚实的方法论基础.问题

本章学习了哪些性质和判定呢？①

①

【等腰三角形的性质与判定】②

②

②

【线段垂直平分线、角平分线的性质和判定】③

③③

作图如答图所示.

核心知识巩固一、基础考点演练考点1

定义、命题与定理1.下列语句中是定义的是(

)D

返回2.［2025郑州月考］下列命题的逆命题是假命题的是(

)