2026高考数学一轮复习第10讲　指数与指数函数 【正文】听课 学生用

《全品高考复习方案》第10讲指数与指数函数【课标要求】1.通过对有理数指数幂amn(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.

2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,

其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x=

n当n是时,正数a的n次方根为x=±na,负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作n0=根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,nan=当n为偶数时,nan2.有理数指数幂概念正分数指数幂:amn=a>0,m,n∈N*,n>1负分数指数幂:a-mn=10的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义运算性质ar·as=ar+sa>0,b>0,r,s∈Q(ar)(ab)r=arbr3.指数函数的概念、图象与性质(1)指数函数的概念函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数.[注意]形如y=tax,y=ax+k(t∈R且t≠1,k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数,不是指数函数.(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R,值域为

图象过定点

当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1在定义域R上

在定义域R上

注意①指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,应分a>1与0<a<1来研究.②y=ax(a>0,且a≠1)与y=1ax(a>0,且a≠1)的图象关于常用结论1.指数函数图象的画法:画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-12.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象以x轴为渐近线.3.指数函数的图象与底数大小的比较:如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.题组一易错辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数. ()(2)指数函数的图象一定在x轴上方. ()(3)0的任何指数幂都等于0. ()题组二教材改编1.式子(π-4)2+A.7-2π B.2π-7C.-1 D.12.函数y=-3-x与y=3x的图象 ()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称3.设a>0,则下列等式恒成立的是 ()A.am+an=am+nB.am·an=amnC.(am)n=am+nD.am·an=am+n4.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则a=.

指数幂的运算例1(1)[2024·湖北荆州期末]计算:313×(3×23)162A.23-1.9 B.12+2-3C.12 D.23+8(2)计算:0.125-23总结反思指数幂运算过程中需注意以下几点:(1)当底数为小数时先化成分数,当底数为负数时先确定幂的符号;(2)将根式化为幂的形式,运用指数幂的运算性质来解答;(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.【对点演练1】(1)已知a>0,b>0,化简:(a12bA.-6ab B.-6b C.-23ab D.-2(2)计算:1614+170-指数函数的图象及应用例2(1)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则f(b)-f(b-1)的取值范围为 ()A.0,29 C.-∞,23 D(2)(多选题)在同一直角坐标系中,函数y=x2+ax+a-3与y=ax的图象可能是 ()A BC D总结反思(1)对于指数型函数的图象,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数的图象,数形结合求解.【对点演练2】如图,曲线①②③④中有3条是函数y=2x,y=3x,y=13x的图象,其中曲线①与④关于y轴对称,曲线②与③关于y轴对称,则y=13x的图象是曲线指数函数的性质及应用题型1比较指数式的大小例3(1)[2025·四川内江模拟]设a=0.1e0.2,b=110,c=0.2e0.1,则 (A.c<b<a B.b<a<cC.b<c<a D.a<c<b(2)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则a,b,c的大小关系是.(用>号连接)

题型2求解指数方程或不等式例4(1)设a∈R,则“a<0”是“2a<18”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)<f(-3x2+4)成立的实数x的取值范围是 ()A.-B.-C.(-∞,1)∪4D.-∞,-43∪(1,(3)已知f(x)=x2-1,x<0,4x,x题型3指数函数性质的应用例5(1)(多选题)[2024·黑龙江绥化质检]已知指数函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值可能为 ()A.3-222 BC.22+32 D.(2)若函数f(x)=13(x-a)(x+2)在区间(-A.[0,6] B.[-2,0] C.[6,+∞) D.(6,+∞)总结反思利用指数函数的性质解题时,原则上先化为同底的指数式,再求解,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞).若不能化为同底,则可化为同指数,然后借助图象或中间变量求解.涉及与指数函数有关的复合函数问题,需注意复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【对点演练3】(1)[2023·全国甲卷]已知函数f(x)=e-(x-1)2.记a=f22,b=f3A.b>c>a B.b>a>cC.c>