2025年福建省武夷山市中考数学真题及参考答案详解【培优】

福建省武夷山市中考数学真题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题25分）一、单选题（5小题，每小题2分，共计10分）1、已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．且 D．2、若a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程为一元二次方程的概率是（）A．1 B． C． D．3、关于函数，下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线x＝3；③当x≥0时，y随x的增大而增大；④当x≤0时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．5、在一个不透明的口袋中装有3张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字，0，2，从中随机抽出两张不同卡片，则下列判断正确的是（）A．数字之和是0的概率为0 B．数字之和是正数的概率为C．卡片上面的数字之和是负数的概率为 D．数字之和分别是负数、0、正数的概率相同二、多选题（5小题，每小题3分，共计15分）1、下列方程中是一元二次方程的有（

）A．B．C．D．E．F．2、如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：其中正确的有（

）．A．∠CDF＝a度B．A1E＝CFC．DF＝FCD．BE＝BF3、两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且．如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（）A． B． C．2 D．-24、如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，是上一点，连接．已知，则下列结论正确的为（

）A．与相切 B．四边形是菱形C． D．5、如图，AB是的直径，C是上一点，E是△ABC的内心，，延长BE交于点F，连接CF，AF．则下列结论正确的是（

）A． B．C．△AEF是等腰直角三角形 D．若，则第Ⅱ卷（非选择题75分）三、填空题（5小题，每小题3分，共计15分）1、把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．2、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．3、不透明袋子中装有10个球，其中有3个黄球、5个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是_______．4、关于的方程，k=_____时，方程有实数根．5、已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，求n的值为____．四、简答题（2小题，每小题10分，共计20分）1、据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）2、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，.（1）求抛物线的表达式；（2）点是抛物线上一点．①在抛物线的对称轴上，求作一点，使得的周长最小，并写出点的坐标；②连接并延长，过抛物线上一点（点不与点重合）作轴，垂足为，与射线交于点，是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．五、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）1、解下列方程：（1）；（2）2、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．（1）求证：是切线；（2）若，，求的半径和的长．3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4、解下列方程．(1)x2＋2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【考点】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2、B【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，四个数中有一个1不能取，a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况有3种，然后利用概率公式计算即可．【详解】解：当a=1时于x的方程不是一元二次方程，其它三个数都是一元二次方程，a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况有3种，关于x的方程为一元二次方程的概率是，故选择B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，列举法求概率，掌握一元二次方程的定义，列举法求概率方法是解题关键．3、B【解析】【分析】根据所给函数的顶点式得出函数图象的性质从而判断选项的正确性．【详解】解：∵，∴该函数图象开口向上，有最小值1，故①正确；函数图象的对称轴为直线，故②错误；当x≥0时，y随x的增大而增大，故③正确；当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而增大，故④错误．故选：B．【考点】本题考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式分析出函数图象的性质．4、B【解析】【分析】根据一元二次方程的概念（只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程）逐一进行判断即可得．【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意；B、，是一元二次方程，符合题意；C、，不是整式方程，故不符合题意；D、，整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：B．【考点】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．5、A【分析】列树状图，得到共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，依次判断即可．【详解】解：列树状图如下：共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，A.数字之和是0的概率为0，故该项符合题意；B.数字之和是正数的概率为，故该项不符合题意；C.卡片上面的数字之和是负数的概率为，故该项不符合题意；D.数字之和分别是负数、0、正数的概率不相同，故该项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了列树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确列出树状图解答是解题的关键．二、多选题1、BCD【解析】【分析】根据一元二次方程的定义对6个选项逐一进行分析．【详解】A中最高次数是3不是2，故本选项错误；B符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C原式可化为4x2—=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D原式可化为2x2十x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；E原式可化为2x+1=0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；Fax2+bx+c=0，只有在满足a≠0的条件下才是一元二次方程，故本选项错误．故答案为：BCD【考点】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．2、ABD【解析】【分析】根据等腰三角形的性质由BA＝BC得∠A＝∠C，再根据旋转的性质得BA＝BA1＝BC＝BC1，∠ABA1＝∠CBC1＝α，∠A＝∠A1＝∠C＝∠C1，而根据对顶角相等得∠BFC1＝∠DFC，于是可根据三角形内角和定理得到∠CDF＝∠FBC1＝α；利用“ASA”证明△BAE≌△BC1F，则BE＝BF，所以A1E＝CF；由于∠CDF＝α，则只有当旋转角等于∠C时才有DF＝FC．【详解】解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABA1＝∠CBC1＝α，∠A＝∠A1＝∠C＝∠C1，∵∠BFC1＝∠DFC，∴∠CDF＝∠FBC1＝α，所以A正确，∴BA＝BA1＝BC＝BC1，在△BAE和△BC1F中，∴△BAE≌△BC1F（ASA），∴BE＝BF，故D正确而BA1＝BC，∴A1E＝CF，所以B正确；∵∠CDF＝α，∴当旋转角等于∠C时，DF＝FC，所以C错误；故选ABD．【考点】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3、AD【解析】【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵，，∴，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即时方程的一个根.∵是方程的一个根，∴，当x=时，，∴是方程的根．故选：A，D．【考点】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．4、ABCD【解析】【分析】A、利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；B、利用A项所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；C、利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；D、利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．【详解】A、连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴PD与⊙O相切，故A正确；B、由A项得：∠CPB＝∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故B正确；C、连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴PO＝AB，故C正确；D、∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故D正确；故选：ABCD．【考点】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．5、BCD【解析】【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AFB=90°，再由E是△ABC的内心可得∠EAB+∠EBA=45°，从而得出∠AEF=45°，进一步得到△ABC是等腰直角三角形，再由垂径定理得EF=EB，从而可得AE=EB，由中位线定理得AE=2OE=2，最后求出．【详解】∵AB为直径，，∴∠ACB=∠AFB=90°，∴∠CAB+∠CBA=180°，∵E是△ABC的内心，∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，∴∠EAB+∠EBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，故选项B正确，∴∠AEF=∠EAB+∠EBA=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，故选项C正确，∴AF=EF，AE=EF，∵，∴EF=EB，∴AE=EB，故选项A错误，∵OA=OB，EF=EB，∴AE=2OE=2，∴EF=BE=2，∴，故选项D正确，故选：BCD【考点】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线定理，三角形内心性质，等腰直角三角形，等知识，证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即：故答案为：．【考点】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．2、【分析】如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，则OD⊥MN，∴MD=DN，在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，∴cm，∴cm，即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．3、【解析】【分析】用黄球的个数除以总球的个数即可得出取出黄球的概率．【详解】解：∵不透明的袋子中装有10个球，其中有3个黄球、5个红球、2个黑球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为；故答案为：．【考点】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、【解析】【分析】由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：①当时，直接进行求解；②当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定k的取值范围，最后综合①②即可求出满足题意的k的取值范围．【详解】解：①当时，方程化为：，解得：，符合题意；②当时，∵方程有实数根，∴，即，解得：，∴且；综上所述，当时，方程有实数根，故答案为：．【考点】题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键．5、4【解析】【分析】由A、B坐标可得对称轴，由顶点在x轴上可得，求得b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入即可求得n的值．【详解】解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，∴，∴b＝﹣2（m+1），∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，∴，∴b2﹣4c＝0，∴[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，∴c＝（m+1）2，∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，故答案为：4．【考点】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，表示出b、c的值是解题的关键．四、简答题1、金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．【详解】解：∵FGHI是正方形，点B在正方形的中心，BC⊥HG，∴BK∥FG，BK==×160=80，∵根据同一时刻物高与影长成正比例，∴，即，解得：AB=米，连接AK，=1.833．∴金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．【考点】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．2、（1）；（2）①连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，点的坐标为；②存在；点的坐标为或．【解析】【分析】（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可写出抛物线的交点式.（2）①因为关于对称轴对称，所以，由两点之间线段最短，知连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，先用待定系数法求出解析式，将对称轴代入得到点坐标.②设点，根据抛物线的解析式、直线的解析式，写出Q、M的坐标，分当在上方、下方两种情况，列关于m的方程，解出并取大于-2的解，即可写出的坐标.【详解】（1）∵，，结合图象，得A（-2,0），C（3,0），∴抛物线可表示为：，∴抛物线的表达式为；（2）①∵关于对称轴对称，∴,∴连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求.将点，的坐标代入一次函数表达式，得直线的函数表达式为.抛物线的对称轴为直线，当时，,故点的坐标为；②存在；设点，则，.当在上方时，，，，解得（舍）或；当在下方时，，，，解得（舍）或，综上所述，的值为或5，点的坐标为或.【考点】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握待定系数法求解析式、最短路径问题是解题的基础，动点问题中分类讨论与数形结合转化为方程问题是解题的关键.五、解答题1、（1），；（2），．【解析】【分析】（1）确定公式中的a，b，c的值，计算判别式△的值验证方程是否有根，若有解，将a，b，c的值代入求根公式即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：（1），a=3，b=−4，c=−1，，∴，；（2）．【考点】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法．公式法掌握用于一般式，确定a、b、c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式计算解决问题，因式分解法适合特殊的一元二次方程，要针对不同的方程选取恰当的方法是解题关键．2、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，