勾股定理(第3课时)教学设计

第三课时一、教学目标知识与技能能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：将实际问题转化为直角三角形模型．难点：如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．三、教学准备多媒体课件四、教学方法讲练结合，分组探讨五、教学过程(一)复习回顾，引入新课问题1：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？设计意图：勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用．师生行为：学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．教师深入小组活动中，倾听学生的想法．此活动，教师应重点关注学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；③学生参加数学活动是否积极主动．生：根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132，AB=13m．所以至少需13m长的梯子．师：很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？设计意图：进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．师生行为：学生分组讨论、交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．教师在此活动中应重点关注：①学生能否独立思考，发现解决问题的途径，比较AC与宽2.2m的大小即可；②学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力．生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是能否通过．师生共析：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．因此AC≈≈2.236．因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．(二)新课教授例1：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？设计意图：进一步熟悉如何将实际问题转化为数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．师生行为：学生独立思考后，在小组内交流合作．教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的．教师在此活动中应重点关注：①学生克服困难的勇气和坚强的意志力；②学生用数学知识解决实际问题的意识．生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．观察图形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．师：OB、OD如何求呢？生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．OB≈1.658m（精确到0.001m）在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．OD≈2.336m（精确到0.001）BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m（精确到0.01m），所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．例2：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．──当代数学教育家清华大学教授许莼舫著作《古算题味》设计意图：通过古代算题的研究，揭发学生学习数学的兴趣，进一步提高学习数学应用数学知识的能力．师生行为：学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动．教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程．本活动教师应重点关注：①学生能否积极主动地参与；②学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解决问题．生：解：设竿长为x尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，根据题意和勾股定理，得x2=（x-4）2+（x-2）2．化简，得x2-12x+20=0，（x-10）（x-2）=0，x1=10，x2=2（不合题意，舍去）．所以竿长为10尺．(三)例题讲解例1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。解：例2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。解：6，；2题图3题图4题图例3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。解：18例4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？解：11600（四）巩固练习1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。2．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离、钢索AB和AE的长度。（精确到1米）5．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．答案1．米；2．；3．20；4．83米，48米，32米；5．约480m（五）课堂小结1谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．2本节是从实际问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解决．（1）学生能否从实际问题出发，将实际问题转化成直角三角形的问题，并用勾股定理完成解决，体验勾股定理的重要性；（2）完成是否积极主动地参与小结．六、板书设计18.1勾股定理情境创设：问题1：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？总结：如何通过实际问题构造直角三角形，并用勾股定理解决例题讲解：例1例2随堂练习教学总结1、学会构造直角三角形．2、会用勾股定理解决简单应用题布置作业七、课后作业1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（精确到1米）答案：1．米；2．；3．20；4．83米，48米，32米；八、教学反思“勾股定理”是几何中一个重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，利用它可以解决直角三角形的许多计算问题，是解决直角三角形的主要根据之一，在理论上占有很重要的地位，在实际中有很大的用途。

导入新课，是课堂教学的重要环节。在一节课的开始，迅速集中学生的注意力，激发起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对这堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。本节课开始是利用了多媒体展示在北京召开的20XX年国际数学家大会的会标，其图案为“弦图”，同时向学生简单介绍它的来历，从而激发学生联想，激励他们探究，使学生的学习状态由被动变为主动。在探索勾股定理的过程中，首先通过多媒体课件将需要解决的问题演示给学生，让学生自己进行探索、同学进行讨论，最后出示结果。特别是在“探索三”中，在计算正方形R的面积时，先让学生交流合作，共同寻找解决