专题3.3立体图形的表面展开图与平面图形（原卷版）

专题3.3立体图形的表面展开图与平面图形1.平面图形与立体图形的本质区别与关联:明确“立体图形的表面展开图是由平面图形组成的”，能举例说明二者的转化(如“正方体的表面展开图由6个正方形(平面图形)组成”)。（重点）2.常见立体图形表面展开图的特征与判断（重点）3.“立体一平面”与“平面一立体”的双向转化:能画出简单立体图形的展开图，能根据展开图判断能否围成立体图形。（重点）4.空间观念的建立:难以想象“平面展开图折叠后对应的立体结构"，导致误判展开图有效性或漏看面的对应关系。（难点）5.圆柱、圆锥展开图的参数匹配:混淆“展开图中平面图形的关键参数”与“立体图形的特征量”，导致展开图与立体图形无法匹配。（难点）6.正方体相对面与相邻面的判断:在展开图中，难以通过“面的位置关系”确定折叠后对应的相对面或相邻面，影响对立体图形结构的理解。（难点）知识点1立体图形的表面展开图1.立体图形的表面展开图有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图1.对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开图2.不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图3.立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点2.常见立体图形的表面展开图常见立体图形的表面展开图知识点2正方体的表面展开图正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的表面展开图表面展开图图示(共11种)“一四一”型“二三一”型(或“一三二”型）“二二二”型“三三”型知识点3棱柱的展开与折叠棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的几种常见棱柱的表面展开图:名称三棱柱长方体(四棱柱)五棱柱六棱柱立体图形表面展开图(举例)棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等知识点4圆柱、圆锥的展开与折叠1.圆柱的表面展开图(1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成.(2)图示:圆柱（图①）的侧面展开图如图②所示;表面展开图如图③所示2.员锥的表面展开图(1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成(2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图②所示；表面展开图如图③所示·1.圆柱的表面展开图中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高2.圆锥的表面展开图中扇形的半径是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长知识点5平面图形1.平面图形各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，常见的平面图形有线段、角、三角形、长方形、圆等2.平面图形与立体图形的关系平面图形与立体图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形平面图形的各个部分都在同一个平面内，立体图形的各个部分不都在同一个平面内。平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在。知识点6多边形及其相关概念1.多边形的各边都是线段而非曲线，多边形是封闭图形;多2.圆是由曲线围成的封闭图形，是平面图形，但不是多边形3.任何一个多边形都可以按照一定的方法分割为若干个三角形，一般用以下三种方法(以五边形为例，如图所示)：多边形是由线段围成的封闭图形，通过分割成三角形可知研究多边形可转化为研究三角形知识点7简单平面图形的组合1.在生活中，有很多图案都是由简单图形组合而成的，这些图案或美化了环境，或具有特殊的含义2.简单的平面图形的组合问题主要有两类：一类是从简单的组合图形中找出常见的平面图形，另一类是利用简单平面图形按要求设计图案或标志如设计班徽等。很多图案由平面图形组合而成，可以由一种平面图形经过多种变换组成，也可以由多种平面图形拼接而成题型一、几何体展开图的认识例1（2425七年级上·宁夏银川·期末）下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（

）A． B． C． D．11（2425七年级上·福建福州·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（

）A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱12（2425七年级上·贵州贵阳·期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A． B．C． D．13（2425七年级上·河南商丘·期末）一个立体图形的展开图如图所示，这个立体图形是．14（2425七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为．（用含a，b的代数式表示）题型二、由展开图计算几何体的表面积题型三、由展开图计算几何体的体积上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大31（2324七年级上·山东滨州·期末）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（

）A．40 B．56 C．110 D．12633（2425七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为．题型四、正方体几种展开图的识别例4（2425七年级上·河南郑州·期末）如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（）A． B．C． D．41（2324七年级上·辽宁沈阳·期末）下列平面图形不能围成正方体的是（

）A． B． C． D．42（2425七年级上·湖北随州·期末）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（

）A．2 B．1 C．6 D．343（2425七年级上·贵州贵阳·期末）如图，是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与点A重合的点是．44（2425七年级上·河南郑州·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是．（填序号）题型五、正方体相对两面上的字例5（2324七年级上·广东·期末）将如图所示的几何体展开图折成一个正方体，这个正方体与“云”字相对面的汉字是（

）A．建 B．设 C．美 D．丽51（2425七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（

）A． B． C． D．A． B． C． D．54（2425七年级上·湖北武汉·期末）如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“年”字对面的字是．题型六、含图案的正方体的展开图例6（2425七年级上·陕西咸阳·期末）如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（

）A．技 B．造 C．未 D．来61（2425七年级上·全国·期末）如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（

）A． B．C． D．62（2425七年级上·陕西宝鸡·期末）下列四个展开图中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（

）A． B． C． D．题型七、求展开图上两点折叠后的距离例7（2324七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（

）A．0 B．1 C．2 D．371（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点题型八、补一个面使图形围成正方体例8（2324七年级上·北京密云·期末）如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（

）A． B． C． D．81（2324七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个82（2324七年级上·山东济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在的位置（填写序号）．题型九、截一个几何体例9（2425七年级上·山东济南·期末）如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（）A． B．C． D．91（2425七年级上·贵州毕节·期末）如图，用一个平面竖直去截圆柱，截面的形状是（

）A． B． C． D．92（2425七年级上·河南郑州·期末）通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术．某数学兴趣小组读取到某几何体截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的是哪一种几何体（

）A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体93（2425七年级上·广东深圳·期末）用一个平面去截一个几何体，截面是圆形，这个几何体可能是．（请写出两个）94（2425七年级上·河南郑州·期末）用一个平面去截一个圆柱，得到的截面有哪些形状？（至少写三种）．题型十、平面图形形状的识别例10（2425七年级上·广西贵港·期末）下列图形中，属于平面图形的是（

）A． B． C． D．102（2324七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（）A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤103（2425七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？平面图形：（填序号）．立体图形：（填序号）．题型十一、多边形的概念与分类例11（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个111（2425七年级上·陕西西安·期中）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8112（2425七年级上·北京·期中）下列图形是正多边形的是（

）A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆题型十二、多边形截角后的边数问题例12（2324七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个121（2324七年级上·广东惠州·期中）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（

）

A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形122（2324七年级上·黑龙江绥化·期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩个角．题型十三、多边形的周长例13（2425七年级上·福建漳州·期中）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（

）A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定131（2425七年级上·全国·期中）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（）题型十四、网格中多边形面积比较

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5A．1 B．2 C．3 D．题型十五、多边形对角线的条数问题例15（2324七年级上·宁夏银川·阶段练习）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6151（2425七年级上·重庆·阶段练习）从八边形的一个顶点出发，可以画的对角线条数是（

）A．5 B．6 C．7 D．20152（2425七年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（）A．11条 B．10条 C．9条 D．8条题型十六、对角线分成的三角形个数问题A．0个 B．1个 C．2个 D．3个161（2425七年级上·河北邯郸·阶段练习）从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（

）A． B． C． D．162（2425七年级上·陕西汉中·期末）若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10163（2425七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是．题型十七、用七巧板拼图形例17（2425七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（

）A．16 B．24 C．32 D．64171（2324七年级上·湖南常德·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（

）A．16 B．32 C．34 D．36172（2425七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．易错点1误判正方体展开图的无效形式(“田”“凹”字形)例1下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的11种形式是解题的关键．根据正方体六个面，展开图的11种形式，对各小题分析判断即可得解．【详解】解：第一个图形：正方体是六面体，五个面不是正方体表面展开图；第二个图形：田字格，五个面都不是正方体表面展开图；第三个图形：田字格，不是正方体表面展开图；第四个图形：七个面不是正方体表面展开图．综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是4个．故选：D．易错点2混淆圆柱、圆圆锥展开图的关键参数(周长/半径匹配)例2如图所示是一个几何体的表面展开图．(1)该几何体的名称是______，其底面半径为______；(2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）．【答案】(1)圆柱；(2)表面积为；体积为．【分析】本题主要考查了几何体的展开