（人教A版）必修一高一数学上册同步分层练习3.2.2 奇偶性（解析版）

3.2.2奇偶性（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，下列说法错误的是（

）A．在R上，B．在R上，C．存在D．存在【答案】C【分析】结合函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定说法错误的选项.【详解】因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以对于任意，即，所以，，，所以ABD正确，C错误．故选：C2．给出下列四个关于函数的命题：①（）与（）表示相同函数；②是既非奇函数也非偶函数；③若与在区间上均为递增函数，则在区间上亦为递增函数；④设集合，，对应关系，则能构成一个函数，记作，.其中，真命题为（

）A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】直接利用函数的定义和函数的性质的应用，函数的单调性的应用判断①②③④的结论．【详解】解：对于①，f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故函数的值域一定相同，故①正确；对于②，函数f（x）＝（﹣2≤x≤2且x≠0）则是奇函数，故②错误；对于③，若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）+g（x）在区间G上亦为递增函数，但是f（x）•g（x）在区间G不一定为递增函数，例:在上为增函数,在上为增函数,但f（x）•g（x）在上无单调性,故③错误；对于④，设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A，符合函数的定义，故④正确．故选：B．3．对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由函数奇偶性的定义求出的解析式，可得出结论.【详解】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，则，可得，因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件．故选：C.4．下列说法中错误的是（

）A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于轴对称的函数是偶函数C．奇函数一定满足 D．偶函数的图像不一定与轴相交【答案】C【分析】由奇偶函数的性质知A，B正确；对于C可举反例说明C错误；对于D，亦可举例说明偶函数的图像不一定与轴相交，得到D正确.【详解】根据奇偶函数的性质知A，B正确；对于C，如，，易得函数是奇函数，但它的图像不过原点，故C错误；对于D，如，，易得函数是偶函数，但它的图像不与y轴相交，故D正确．故选：C．5．已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解.【详解】由已知的定义域为R，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以为偶函数，又，，又，所以，所以不为奇函数，故选：B．二、多选题6．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（

）A．当时B．函数在上单调递减C．D．函数在上单调递增【答案】ABD【分析】结合的图象，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.【详解】根据图象可知：时，，A选项正确.在递减，在上递增，由于是奇函数，所以在递减，在上递增，所以B选项正确，D选项正确.由于在上递增，所以，所以C选项错误.故选：ABD7．函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（

）A．B．的定义域为C．为偶函数D．若在上单调递增，则的最小值为1【答案】ACD【分析】由函数的图象，逐项判断.【详解】因为，，的坐标分别为，，，所以故A正确．因为的定义域为，所以的定义域为，故B错误．因为的图象向左平移一个单位长度后关于轴对称，所以为偶函数，故C正确．因为在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选：ACD8．已知定义域为的偶函数的一个单调递增区间是，关于函数的下列说法中正确的是（

）A．一个递减区间是 B．一个递增区间是C．其图象对称轴方程为 D．其图象对称轴方程为【答案】BC【分析】首先根据题意得到，从而得到向右平移个单位得到的图象，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为为偶函数，所以，则把向右平移个单位得到的图象.因为的一个单调增区间为，所以的一个增区间为，故A错误，B正确.又因为函数关于轴对称，所以函数的图象关于对称，故C正确，D错误.故选：BC9．下列命题中说法正确的是（

）A．空集是任何集合的子集B．函数在定义域上单调递减C．若在定义域上为奇函数，则一定有D．若具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称【答案】AD【分析】AD可以直接进行判断；B选项，在整个定义域上不单调递减，故错误；C选项可以举出反例.【详解】空集是任何集合的子集，A选项正确；函数的定义域为，在,上单调递减，但在整个定义域上不满足单调递减，故B错误；只有的定义域包含0，才有，比如也是奇函数，但却不能使得，故C错误；若具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称，D选项正确.故选：AD10．关于函数的说法正确的是（

）A．值域为 B．C．该函数为偶函数 D．在上为增函数【答案】BC【分析】画出函数图象，直接判断即可.【详解】函数，根据图象可知，值域为，为偶函数，在上为减函数．故选：BC．11．已知函数，对于任意，则A．的图象经过坐标原点 B．C．单调递增 D．【答案】ABD【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，对于B，令，则，再令，则，所以B正确，对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，故选：ABD三、填空题12．给出下列结论：①若的定义域关于原点对称，则是偶函数；②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；③若，则（）是偶函数；④若（）是偶函数，则；⑤若，则（）不是偶函数；⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是（）；⑦若是定义在上的奇函数，则．其中正确的结论是______（填序号）．【答案】②④⑤⑦【分析】根据函数的奇偶性定义即可作出判断.【详解】只有的定义域关于原点对称，且时，才是偶函数，故①错误；的定义域关于原点对称是为偶函数的必要条件，故②正确；对任意，满足，才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性，故③错误而④正确；为了说明不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确；，定义域为，该函数既是奇函数又是偶函数，故⑥错误；由于是奇函数，且定义域为，所以，，令，则，即．故⑦正确．故答案为：②④⑤⑦13．定义，表示不大于x的最大整数（如，）.给出以下四个命题：①是定义在R上的奇函数；②是定义在R上的增函数；③在R上有最大值和最小值；④对任意、，都有.其中，真命题的序号是______.【答案】②【分析】根据题意，作出函数图像，结合函数图像求解即可.【详解】解：因为，，所以不是奇函数，①错；画出的图像（如图）；的值域为，所以③错；因为，，所以④错.故答案为：②.14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数：（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则__________.【答案】(答案不唯一).【分析】举出符合条件的函数即可.【详解】如，，，所以是偶函数；时，，所以在上单调递减；，的值域是.故答案为：.答案不唯一.15．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.【答案】1【分析】利用奇函数的性质进行求解.【详解】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.16．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【答案】【分析】根据偶函数的性质计算即可【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：17．已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）【答案】＞【分析】利用奇函数的性质与不等式的性质即可求得.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，．又，所以，即．故答案为：＞.四、解答题18．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【分析】先证明函数f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，再根据对称性作图即得解.【详解】因为f(x)＝所以f(x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．19．若偶函数在区间上递减且在区间上递增，试讨论在区间上的增减性，并进一步讨论为奇函数的情形．【分析】由函数的奇、偶性的性质可得，偶函数再对称的区间上单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同，结合条件可得答案.【详解】当函数为偶函数时，则其图像关于轴对称由函数在区间上递减，则在上单调递增.函数在区间上递增,则在上单调递减.所以偶函数在上的单调性为：上单调递减，上单调递增当函数为奇函数时，则其图像关于原点成中心对称由函数在区间上递减，则在上单调递减.函数在区间上递增,则在上单调递增.所以奇函数在上的单调性为：上单调递增，上单调递减20．求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.【分析】利用函数奇偶性的定义证明即可【详解】证明：（1）由题意函数定义域为且故是上的偶函数（2）由题意函数定义域为且故是上的奇函数21．已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.（1）设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.（2）作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.22．已知函数是上的偶函数，当时，.(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；(2)求当时，函数的解析式.【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）利用单调性的定义即证；（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.(1)，且，则，∵，且，∴，∴，即，∴函数在上单调递增；(2)当时，，∴，又函数是上的偶函数，∴，即当时，.23．定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)若对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）令，得到，即可求得的值；（2）令，得到，进而得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解.（3）根据题意，把对恒成立，转化为对恒成立，结合函数的单调性，即可求解.（1）解：由题意，函数满足：对任意都有成立令，则，所以．（2）解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称，令，可得，因为，所以所以函数为奇函数.（3）解：因为对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为是上的单调递增函数，所以，即，即对恒成立，因为函数为单调递增函数，所以，所以，即实数的取值范围是.24．已知函数满足．(1)求的值；(2)求证：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）令，即可求出；（2）令，结合，即可得证；（3）根据所给条件求出，，，，，，，即可得解；(1)解：因为，令，则，所以；(2)解：因为，令，则，又，所以，即；(3)解：因为且，所以，，，，，，所以，；25．求证：定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数．【分析】设函数为定义于R上的两个奇函数，令，利用奇偶性的定义证明即可【详解】不妨设函数为定义于R上的两个奇函数则令，则定义域为R，关于原点对称且故函数为偶函数即定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数【能力提升】一、多选题1．已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】ABC【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；对于C选项，设，则，所以为偶函数，故C正确；对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.故选：ABC.2．已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（

）A．在上单调 B．为偶函数C．为偶函数 D．【答案】BD【分析】利用奇函数的定义，求出关于点对称，得到，利用充分条件的定义结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及恒等式，运用赋值法对四个选项逐一分析判断即可.【详解】函数的定义域为，是奇函数，则，所以，故函数关于中心对称，所以，对于A，在上单调，由不能确定，故错误；对于B，为偶函数，又，所以，故正确；对于C，为偶函数，则，可知函数关于轴对称，不能确定，故错误；对于D，因为关于成中心对称，所以，令则，因为，令，则，解得，令则，解得，令，则，综上可得，所以是使得成立的充分条件.故选：BD3．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．C．的图像关于对称 D．【答案】BCD【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；，即，关于对称，所以，即周期为4，且，即为偶函数，A错误；则，B正确；又，且，都有，即在上递增，综上，在上递增，则上递减，故，D正确.故选：BCD4．函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.【详解】当时，；当时，定义域为R且为奇函数，在上，在上递增，在上递减，A可能；当时，定义域为且为奇函数，在上且递增，在上且递增，B可能；当时，且定义域为，此时为偶函数，若时，在上(注意)，在上，则C不可能；若时，在上，在上，则D可能；故选：ABD二、填空题5．已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等的解集是______．【答案】【分析】根据函数的奇偶性，补全其在上的图像，由知，函数的值异号，结合图像可得不等式的解集.【详解】如图所示，作出函数与在上的图像，由图像，当时，函数的值异号，所以不等式的解集为．故答案为：.6．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．【答案】【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求函数的最小值.【详解】∵是定义在上的奇函数，∴对任意，，，且，等价于，∴在上单调递增．∵，∴．故答案为：7．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．【答案】0【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.【详解】解：因为为偶函数，所以＝，即＝，所以函数关于对称，所以＝，又因为为奇函数，所以＝－，所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，即＝－，所以＝－，＝－＝，即＝，所以的周期为4，在＝－中令

，得，所以，即，又因为，所以，即，所以，所以当时，，所以，所以，，，，所以则0.故答案为：0.三、解答题8．函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）【答案】(1)0(2)最大值8，最小值0(3)【分析】(1)根据奇函数的性质求的值；(2)化简函数解析式，结合二次函数性质求其最值；(3)化简函数解析式，结合函数图象确定的取值范围.（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.所以恒成立，所以.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上的值得范围为，其中时，，函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；所以当时，，当时，.（3）因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，当时，当时，令，可得因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.9．设函数，．(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)该同学的观点正确，理由见解析(2)0(3)【分析】（1）由奇函数的定义，求是否有解，即可得出答案（2）若为偶函数，则有，求出实数a的值，即可得出答案.（3）恒成立转化为，画出的图象，求出，解不等式即可得出答案.（1）该同学的观点正确，理由如下：，．若为奇函数，则有，∴．显然无实数解，∴不可能是奇函数．（2）若为偶函数，则有，∴，即．∴，此时，是偶函数．∴实数a的值为0．（3）由（2）知，其图象如图所示：由图象，知，∴，解得．∴实数m的取值范围为．10．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．（2）由，得，故或．如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，故不等式的解集为．11．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.12．已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．【答案】(1)1，函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）(2)【分析】（1）利用赋值法可求，结合定义可得的图象是中心对称图形.（2）可证在R上是增函数，从而可求不等式的解.（1）取，得，所以．取，，得，于是，所以函数是奇函数，所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．（2）设，则，故，而，所以在R上是增函数，由，得，解得或．所以不等式的解集为．13．设函数对任意，都有，证明：为奇函数．【