高考数学二轮复习 大题保分练6

大题保分练61．举办亲子活动，不仅能促进家庭与幼儿园之间的合作，还能增进亲子之间的感情，对促进幼儿园教育也具有重要作用．某幼儿园为了提高家长对该幼儿园举办亲子活动的满意度，随机调查了100名家长，每名家长对该幼儿园举办的亲子活动给出满意和不满意的评价，得到的数据如下表：满意不满意总计男家长40女家长10总计75100(1)补充完整上面的列联表，并分别估计男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异？参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解(1)由题意可得参与调查的女家长人数为100－40＝60，参与调查的女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为60－10＝50，参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为75－50＝25，参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为40－25＝15，参与调查的家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为15＋10＝25，则补充完整的列联表如下：满意不满意总计男家长251540女家长501060总计7525100男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为eq\f(25,40)＝eq\f(5,8)，女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为eq\f(50,60)＝eq\f(5,6).(2)由(1)中列联表可得K2＝eq\f(100×25×10－15×502,40×60×75×25)＝eq\f(50,9)≈5.556，因为5.556>3.841，所以有95%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异．2．在多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为eq\r(5)的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点．(1)求证：AF∥平面ECD；(2)求多面体ABDEC的体积．(1)证明取CD的中点G，连接EG，∵△CDE为腰长为eq\r(5)的等腰三角形，∴EG⊥CD，又∵平面CDE⊥平面BCD，EG⊂平面ECD，平面CDE∩平面BCD＝CD，∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD，∴EG∥AF，又∵EG⊂平面ECD，AF⊄平面ECD，∴AF∥平面ECD.(2)解在△CDE中，EG2＝ED2－DG2，∴EG＝2，又∵△BCD为边长为2的等边三角形，∴VE－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·EG＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×2＝eq\f(2\r(3),3)，过G作GH⊥BC于H，在等边三角形BCD中，GH＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(\r(3),2)，又∵平面ABC⊥平面BCD，GH⊂平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴GH⊥平面ABC，又∵EG∥AF，∴GH的长度是点E到平面ABC的距离，又∵△ABC为等边三角形，∴VE－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)，∴VABDEC＝VE－BCD＋VE－ABC＝eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)＋3,6).3．(2022·沈阳模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a3＝a5，a2·a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，beq\o\al(2,n)－3beq\o\al(2,n＋1)＝2bnbn＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若eq\f(λ,bn＋1)＋6≥an恒成立，求实数λ的最小值．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝a1＋4d，,a1＋da1＋2d＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))∵d≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∵3beq\o\al(2,n＋1)＋2bnbn＋1－beq\o\al(2,n)＝0，∴(bn＋1＋bn)(3bn＋1－bn)＝0，∵bn>0，∴bn＋1＝eq\f(1,3)bn，又b1＝1≠0，∴bn≠0，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(1,3)，∴{bn}是以1为首项，eq\f(1,3)为公比的等比数列．∴bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.(2)∵bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，an＝2n－1，∴eq\f(λ,bn＋1)＋6≥an，即eq\f(λ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n)＋6≥2n－1，即λ≥eq\f(2n－7,3n)恒成立，设cn＝eq\f(2n－7,3n)，则cn＋1－cn＝eq\f(2n－5,3n＋1)－eq\f(2n－7,3n)＝eq\f(－4n－4,3n＋1)，即当n＝1,2,3时，cn＋1>cn；当n＝4时，cn＋1＝cn；当n≥5，n∈N*时，cn＋1<cn，∴当n＝4或5时，cn＝eq\f(1,81)为{cn}的最大项．∴λ≥eq\f(1,81)，故实数λ的最小值为eq\f(1,81).4．(2022·长春模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|.(1)解不等式f(x)≤6；(2)设当x∈R时，函数f(x)的最小值为M.若实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝M，求a2＋b2＋c2的最小值．解(1)不等式f(x)≤6⇔|x－1|＋|x＋3|≤6可转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－3，,1－x－x＋3≤6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<1，,1－x＋x＋3≤6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－1＋x＋3≤6，))解得－4≤x≤－3或－3<x<1或1≤x≤2，则有－4≤x≤2，所以不等式f(x)≤6的解集为[－4,2]．(2)由绝对值三角不等式可得|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，当且仅当－3≤x≤1时等号成立，因此，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|的最小值M＝4，即a＋2b＋3c＝4，由柯西不等式可知(a2＋b2＋c2)·(12＋22＋32)≥(a＋2b