1.4空间向量的应用学案答案_第1页
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1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课时1空间中点、直线和平面的向量表示答案1.直线的方向向量：若A，B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线2.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，向量n叫做平面3.平面的法向量的求法（待定系数法）①建立适当的坐标系；②设平面α的法向量为n=(x,y,z③求出平面内两个不共线向量的坐标a=(a1,④根据法向量定义建立方程组n⋅⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.【自主诊断】课时2空间线面位置关系的判定答案一、判定空间中的平行关系1.线线平行：设直线l1,l2的方向向量分别是u1,u2，则要证明l12.线面平行：设直线的方向向量是u，平面α的法向量是n，则要证明l||α，只需证明u⊥n，即l||α⟺u⊥n3.面面平行：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，要证α∥β，只需证n1∥n2，即证二、判定空间的垂直关系1.线线垂直：设直线l1,l2的方向向量分别是u1,u2.线面垂直：方法一：设直线l的方向向量是u，平面α的法向量是n，则要证明l⊥α，只需证明u方法二：设直线l的方向向量是u，平面α内的两个相交向量分别为a，b，若u⋅a=03.面面垂直：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，要证α⊥β，只需证n11.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课时1用空间向量研究距离问题答案1.点A(x1,y1,z2.点P到直线的距离若P为直线外的一点，Q在直线上，u为直线的方向向量，a=AP，则点P到直线距离为PQ=a23.点到平面的距离若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于AP在直线l上的投影向量QP的长度，即PQ=AP∙nn4.直线平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.5.利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【自主诊断】课时2用空间向量研究夹角问题答案1.求异面直线所成的角则cosθ=2.求直线和平面所成的角设直线方向向量为u，平面法向量为n，直线与平面所成的角为，u与n的夹角为，则为的余角或的补角的余角，即有sinθ=cosu，n=注意：当u，n≤π2时，θ=3.求平面与平面的夹角（2）平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.（3）空间向量求

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