1.1课时1直线的方程直线的倾斜角和斜率导学案-高二上学期数学北师大版选择性

1.1课时1直线的方程、直线的倾斜角和斜率【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(直观想象)2.掌握过两点的直线的斜率公式.(数学运算)3.通过对直线的倾斜角和斜率的学习，培养学生数学抽象的核心素养.【自主预习】我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，由此可见，答案是否定的.阅读教材，结合上述情境回答下列问题：1.a，b，c，…这些直线有什么联系呢?它们的倾斜程度相同吗?2.一个点和一个方向能确定一条直线吗?3.下图中标的倾斜角α对不对?4.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗?坡度是斜率吗?1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率.()(2)平分坐标轴直角的直线的斜率一定为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α，则α∈R.()(4)直线斜率的取值范围是(∞，+∞).()2.若直线l经过原点和(1，1)，则它的倾斜角是().A.45°B.135°C.45°或135°D.45°3.已知直线l经过原点和点(3，3)，则直线l的斜率为().A.3B.3C.1D.24.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，求直线AB，BC，AC的斜率.【合作探究】探究1直线的倾斜角小明常在无聊的时候将笔放在手指上不停地转圈，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，拿着水笔在手上还没转足半圈，就“啪嗒”一声掉在桌子上.问题1：若把图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在平面直角坐标系内，不论直线怎么旋转，它对x轴的相对位置有几种情形?问题2：直线的倾斜角能不能是0°?能否大于平角?问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗?1.倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.2.倾斜角的范围当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π).特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.例1设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为().A.α+45°B.α135°C.135°αD.α+45°或α135°【方法总结】求直线的倾斜角的方法及两个注意点(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两个注意点：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为π2；②注意直线倾斜角的取值范围是[0，π一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为().A.αB.180°αC.180°α或90°αD.90°+α或90°α探究2直线的斜率环法自行车赛是知名的年度多阶段公路自行车运动赛事，主要在法国举办，但也经常出入周边国家(如英国、比利时和西班牙等).下图是某次比赛中所经过的某段公路的示意图.问题1：OA，AB两段公路中哪段路更陡峭?为什么?用什么来刻画山坡的倾斜程度?怎样将“直观”量化?问题2：所有直线都有斜率吗?若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角为多少?问题3：在斜率公式k=y2-y1x2-x11.改变量在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx=x2x1(Δx≠0)，Δy=y2y1，即横坐标的改变量为Δx，纵坐标的改变量为Δy.比值k=ΔyΔx反映了直线l的倾斜程度.k=ΔyΔx的大小与两点P2.斜率的定义称k=y2-y1x2-x1(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x3.(1)倾斜角是π2的直线没有斜率，倾斜角不是π2(2)直线的倾斜角与斜率的关系：①直线的斜率与倾斜角既有区别又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜角可为正，可为零，不可为负，而斜率k不仅可为正，可为零，而且可以为负.例2经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在，求其斜率.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(2，3)，D(2，1)；(3)P(3，1)，Q(3，10).【方法总结】已知两点坐标求斜率，常用两点斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)若直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为().A.2B.3C.2D.3已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标为________.

已知直线l过点P(4，6)，且其斜率k=23.(1)判断点A(2，0)，B(1，4)是否在直线l上；(2)若点C(2m3，m)在直线l上，求m的值.【随堂检测】1.直线l的倾斜角α的取值范围是().A.0°≤α<180° B.0°<α≤180°C.0°<α<180° D.0°≤α<180°且α≠90°2.给出下列结论：①若α是直线l的倾斜角，则sinα∈[0，1]；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确结论的个数是().A.1B.2C.3D.43.已知点A(a，2)，B(5，1)，C(4，2a)在同一直线上，则a的值为________.

4.已知A(m，m+3)，B(2，m1)，C(1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值.

参考答案1.1课时1直线的方程、直线的倾斜角和斜率自主预习·悟新知预学忆思1.它们都经过点P，它们的倾斜程度不相同.2.能.3.都不对.4.有，如斜率也能刻画直线的倾斜程度.坡度不是斜率，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.自学检测1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3.A【解析】由题意可知，直线l的斜率k=3-03-0=4.【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB=1-11-(-1)=0，kAC=-1-11-(-1)=1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC合作探究·提素养探究1情境设置问题1：如图，有4种情形.问题2：能是0°，不能大于平角.问题3：每一条直线都有倾斜角.新知运用例1D【解析】根据题意，画出图形，如图所示：由于0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α180°=α135°.故选D.巩固训练D【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°α.故选D.探究2情境设置问题1：AB段路更陡峭，因为AB与水平面的夹角大于OA与水平面的夹角，可以利用斜坡倾斜角的正切值将“直观”量化，也可以利用坡度量化.问题2：不是，当直线与x轴垂直时，直线没有斜率.若直线没有斜率，则其倾斜角为90°.问题3：当x1=x2时，直线没有斜率.新知运用例2【解析】(1)存在.直线AB的斜率kAB=5-34-2(2)存在.直线CD的斜率kCD=-1-32-(-2)=(3)不存在.因为xP=xQ=3，所以直线PQ的斜率不存在.巩固训练1C【解析】斜率k=0-23-0=2巩固训练2(2，0)或(0，8)【解析】设B(x，0)(x≠3)或B(0，y)，∴kAB=4-03-x或kAB=∴43-x=4或4-∴x=2或y=8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，8).巩固训练3【解析】(1)因为kPA=0+62+4=1≠23，kPB=-4+6-1+4=23，所以点A不在直线l上，点B(2)因为点C在直线l上，所以kPC=23，所以m+62m-3+4=随堂检测·精评价1.A【解析】由倾斜角的定义和规定知0°≤α<180°.2.C【解析】由直线的倾斜角的定义及斜率与倾斜角的关系可知，①②③正确.3.2或72