初中数学竞赛集训班讲义16：锐角三角函数（含答案或解析）

初中数学竞赛集训班讲义第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin2α+cos2α=1；商数关系：tgα=，ctgα=；倒数关系：tgαctgα=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC=．思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1)S△ABC=；（2）．【例2】如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=()A．B．C．0.3D．思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC=，BC=12，求AD的长．思路点拨(1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2)sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．【例5】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根．(1)求实数、应满足的条件；(2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>，那么α<60°；④．正确的有．2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为．3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°=．4．化简(1)=．(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中()A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低D．丙的最低6．已知sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα的值为()A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是()A．B．C．D．8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为()A．B．2C．1D．9．已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE的长．11．若0°<α<45°，且sinαconα=，则sinα=．12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是．13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为．14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于()A．B．C．D．15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是()A．2B．C．1D．16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=，AC=，则AB的长是()A．B．C．5D．17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实根的平方和为6，求△ABC的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC的长．

19．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断与的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线滚动．(1)当△ABC滚动一周到△AlB1C1的位置，此时A点所运动的路程为，约为(精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC滚动240°，C点的位置为Cˊ，△ABC滚动480°时，A点的位置在Aˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．初中数学竞赛集训班讲义第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin2α+cos2α=1；商数关系：tgα=，ctgα=；倒数关系：tgαctgα=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC=．思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1)S△ABC=；（2）．【例2】如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=()A．B．C．0.3D．思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC=，BC=12，求AD的长．思路点拨(1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2)sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．【例5】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根．(1)求实数、应满足的条件；(2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>，那么α<60°；④．正确的有．2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为．3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°=．4．化简(1)=．(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中()A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低D．丙的最低6．已知sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα的值为()A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是()A．B．C．D．8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为()A．B．2C．1D．9．已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE的长．11．若0°<α<45°，且sinαconα=，则sinα=．12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是．13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为．14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于(