2024-2025学年上海大同中学高一（上）期中数学试题及答案

试题试题大同中学2024学年第一学期高一年级数学期中2024.11一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）1.已知，，则____2.不等式的解集用区间表示是________．3.不等式的解集是__．4.已知，用的代数式表示________．5.若是一元二次方程的两个实数根，则__________.6.设，，则______.7.函数定义域是___________．8.函数（且）的图象过定点________．9.已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则________．10.若不等式组的解集是，则a的取值范围是______11.设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的________．12.已知非零实数、满足，则的取值范围是__．二、选择题（每题4分，共16分）13.设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是A.1 B.3 C.4 D.814.已知，令，，，那么之间的大小关系为A. B. C. D.15.设，“”是“”的一个（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C充要条件 D.既非充分又非必要16.已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.三、解答题（共4题42分）17.已知命题函数的定义域为，命题对任意实数是增函数；（1）若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）当时，若p，q两命题一真一假，求m的取值范围.18.某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，（1）用、表示文字宣传区域面积和；（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？19.已知函数的图像是由两支组成的双曲线，（1）当，作出函数图像；（2）是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围．20.若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合一个划分，（1）写出集合的所有不同的2划分；（2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值；②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值；（3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得．大同中学2024学年第一学期高一年级数学期中2024.11一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）1.已知，，则____【答案】【解析】【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，故答案为：2.不等式解集用区间表示是________．【答案】；【解析】【分析】移项整理，可得，根据分式不等式的解法，即可求得答案.【详解】原式，可化为，即，所以，等价于，所以，即不等式解集为.故答案为：.3.不等式的解集是__．【答案】【解析】【分析】将不等式的两边同时平方，然后求解即可.【详解】不等式可以变形为，解得，即，∴不等式的解集为.故答案为：.4.已知，用的代数式表示________．【答案】；【解析】【分析】应用对数运算律计算化简即可.【详解】因为，则所以．故答案为：.5.若是一元二次方程的两个实数根，则__________.【答案】【解析】【分析】依题意得，，即可求解．【详解】解：依题意得，，则．故答案为：6.设，，则______.【答案】【解析】【分析】将自然数代入，找出在范围中有理数的值，即为【详解】由得，时，，时，，时，，时，，时，，时，，时，，时，因为，所以故答案为：7.函数的定义域是___________．【答案】【解析】【详解】要使函数有意义，则，解得，且.所以函数的定义域是.答案为;.点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．8.函数（且）的图象过定点________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】对于函数，令，即，此时，所以函数（且）的图象过定点.故答案为：9.已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则________．【答案】.【解析】【分析】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可．【详解】由幂函数，故有，则解得，或，当时，与坐标轴有交点不合题意.所以，，满足条件，故答案为：．10.若不等式组的解集是，则a的取值范围是______【答案】【解析】【分析】不等式组解集为R，就是不等式和对任意实数x恒成立。结合二次函数图象解决即可。【详解】因为不等式组的解集是，所以，不等式和对任意实数x恒成立。由不等式对任意实数x恒成立可得，即，解得；由不等式对任意实数x恒成立，即不等式对任意实数x恒成立，所以或，解得或，所以故答案：.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，难度一般。解决一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数的图象，注意三个二次之间的关系，尤其注意当二次项系数含字母时，应讨论二次项系数是否为0、二次项系数的正负。11.设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的________．【答案】化学，地理，历史；【解析】【分析】由题意符合条件的需满足与中的相同元素要一样多，与的相同元素少于与中的相同元素，写出即可.【详解】由，可知元素越多，越少，故越大，由，可得则与中的相同元素要一样多，且与的相同元素少于与中的相同元素即可满足题意.如化学，地理，历史可满足题意.故答案为：化学，地理，历史.【点睛】关键点点睛：新定义题型，重点在于理解定义，得到需满足的条件.12.已知非零实数、满足，则的取值范围是__．【答案】[1,3)∪(3,9]【解析】【分析】利用基本不等式结合已知条件求出的取值范围，再由结合不等式的基本性质可求得结果.【详解】因为，当且仅当时，等号成立.所以，.若，则，可得，此时；若，则，可得，此时.综上，且.所以，.故答案为：.二、选择题（每题4分，共16分）13.设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是A.1 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，，所以,,,,故选C.考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．14.已知，令，，，那么之间的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵，∴，，，即，故选C．考点：对数函数与指数函数．15.设，“”是“”的一个（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可得结论.【详解】当时，在上单调递增，又，所以，即，所以“”是“”的一个充分条件，当时，均满足，所以“”是“”的一个不必要条件，所以，“”是“”的一个充分非必要条件.故选：A.16.已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式恒成立得中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0，进而得，再根据绝对值三角不等式即可得答案.【详解】若对于任意的实数，不等式恒成立，则，所以中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0，①，所以，所以，②，所以，因为无解，所以不符合题意；③，因为不可能恒成立，故无解；所以，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于对不等式变形后得到三个数中有一个恒大于等于0，另两个数需同正同负同为0时需满足的条件.三、解答题（共4题42分）17.已知命题函数的定义域为，命题对任意实数是增函数；（1）若是的充分不必要条件，求的取值范围；（2）当时，若p，q两命题一真一假，求m的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分别根据对数函数和指数函数性质解出命题为真命题时的取值范围，再由是的充分不必要条件即可得的取值范围是；（2）当时，命题为真时，为真时，分别讨论一真一假时取交集即可得m的取值范围.【小问1详解】当函数的定义域为时，可知在上恒成立，即，解得，即命题：.当对任意实数，函数是增函数时，由指数函数单调性可得，即恒成立，即命题：.若是的充分不必要条件，则，，因此是的真子集，即，解得，即的取值范围是.【小问2详解】由（1）得，当时，命题为真时，为真时，，一真一假；若真假，则，解得；若假真，则，则，∴m的取值范围是.18.某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，（1）用、表示文字宣传区域面积和；（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？【答案】（1）（2）长和宽分别为时，面积取得最大值.【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形，所以.【小问2详解】依题意，，由（1）知，当且仅当时取等号，由，解得，所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值.19.已知函数的图像是由两支组成的双曲线，（1）当，作出函数图像；（2）是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）由直接作图即可；（2）由函数单调性的概念即可求解；（3）由一元二次方程根的分布即可求解.【小问1详解】【小问2详解】函数参数分离为，若函数在区间上是严格减函数，则，且，即，解得：，所以实数的取值范围是；【小问3详解】由题意可知：在区间有两个不同的根，或在区间有两个不同的根，由可得，如果方程有根，由韦达定理可知：，所以两根不可能同在区间上，所以应在区间有两个不同的根，可得：，又，代入得：，解得：，所以实数的取值范围是20.若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分，（1）写出集合的所有不同的2划分；（2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值；②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值；（3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得．【答案】（1）（2）①可能成立，，②不可能成立，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；（2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明；（3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果.【小问1详解】集合的所有不同的2划分为【小问2详解】①可能成立，举例如下:;②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以，因为为中元素的最小