医用高等数学 各章习题答案 第二章 一元函数微分学

解：fffffff解：ffff解：（1）lim-A=-f（2）limlim解：解：fff∴f+'0解：f因为在x=1处可导，所以在x=1处必连续，f(1)=1由x=1处连续可得：lim由x=1处可导可得：f1+ff⇒(1)(2)y=8x8(3)(4)(5)(6)y=x解：yyyyx-2解：y=yy切线：y法线：y解：y1=1k=yx=2,∴平行于该割线的点为(2,4)解：sss(1) y(2) y(3) yy(4) y(5) y(6) y(7) y=-21y(8) y(9) y(10)(11)(12)(13)=x==(14)=(15)(16)=13（1）（2）（14）=-=-16.2yy’-2（y+xy’）=0y’=y3x2+3y2y’-3a(y+xy’)=0y’=ay-y+xy’=(y’+1)ey’=ey’=-(eyy’=-1x2+y2.y’=x+y(xyy’=-2x17.(1)lny'yy’=2(2)lny=xln(lnx)y'y=ln(lnx)+xy’=yln(lnx)+y(3)(4)lny=sinxln(1+x2y'y=cosxln(1+x2y’=ycosxln(1+x2)+(5)lny=lnlny=1y'y=y'=y(6)解：原式是根式，用对数求导法则18.(1)y’=4x+1y’’=4-1(2)y’=e=(1+2x2)y''=4x=(6x+4x3)(3)y’=-ey’’=e=-2e(4)(5)y’=xarctanx+1+=xarctanx+1y’’=arctanx+x(6)19.(1)y’=ey’’=ex+y’’’=2ex+……y(n)=n(2)解：(3):(4)y’=cosx-xsinxy’’=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosxy’’’=-2cosx-cosx+xsinx=-3cosx+xsinxy(4)20.(1)dy=e(2)dy=(16xcos2x+8sin2x)dx(3)dy=8=8((4)dy=-ln⁡(5)dy=(1x(6)dy=x21.求下列参数方程所确定的函数的导数dy/dx21.求下列参数方程所确定的函数的导数dy(1)x=at2y=bt解：dydx=3bt22at=3bt2a(3)x=t(1-sint)y=1-t(解：dydx=122.求曲线x=2ety=e解：dydx=-e-t2所以切线方程为y-1=-1223.验证函数f(x)=arctant在闭区间[0,1]上是否满足拉格朗日中值定理.若满足求ξ的取值.解：24.试用拉格朗日中值定理证明不等式|sinx-siny|≤|x-y|.解：z=sinx在(-∞，+∞)可导，z^‘=cosx∀x,y∈(-∞，+∞)设(y>x),在[x,y]上满足拉格朗日中值定理∴|sinx-siny|=|cosξ(y-x)|ξ∈(x,y)又∵|cosξ|≤1∴|sinx-siny|≤|x-y|25.利用洛必达法则求解下列函数的极限：(1)limx→0ex2-1(2)lim解(3)limx→∞x(e1x-1)解：原式=limx→0(ex-1)x26.讨论下列函数的单调性：(1)解：f'x当x∈(-1,0)时，f'x<0当x∈(0,+∞)时，f'x>0(2)f(x)=解：f'x当x∈(0,1)时，f'x<0当x∈(1,+∞)时，f'x>0(3)f解：f'x∴f(x)单调递减27.求下列函数的极值(1)f(x)=x-ln(1+x)解：当x=0时，函数f(x)有极小值解：f'∴极小值为f(0)=0f令f'x=0，解得x=或者x=1因为f所以函数f(x)的极大值为f(0)=1为极大值因为f所以函数f(x)的极小值为f(3)fx解：f令f'x或者x=3所以函数f(x)的极大值为f(-1)=20(4)f解：ff令f'x=0，解得x=1，∴极大值为f极小值为f1和28.求下列函数的最大值与最小值(1)fx=2x3解：f令f'x=0，得∵f-1=0f1=4∴fx的最大值为85，最小值为(2)fx=x解：f令f'x=0，得x∵f-5=6-5，f∴fx的最大值为1.25，最小值为29.水中氢离子浓度和氢氧根离子浓度的乘积是10-14解：设氢离子浓度为x,氢氧根离子浓度为y∵xy=10∴当x=y=10-730.在某化学反应中，反应速度v(x)与反应物的浓度x的关系为v(x)=kx(x0-其中x0是反应开始时反应物的浓度，k是反应速率常数.则反应物的浓度x为何值时，反应速度v(x)达到最大值？解：v'x解得，当x=x0/2时，反应速度v(x)达到最大值31.求下列曲线的凹凸区间与拐点：(1