2020中考几何模型专题精讲与习题

2020中考几何模型专题精讲与习题各位同学，几何学习在初中数学中占据着举足轻重的地位，而几何模型的熟练掌握与灵活运用，更是解决复杂几何问题的“金钥匙”。中考几何题目千变万化，但很多题目都源于对基本模型的演变与组合。本专题将选取中考中高频出现的几个经典几何模型，进行深度剖析，并辅以针对性习题，希望能帮助同学们拨开迷雾，洞悉几何问题的本质，提升解题能力。一、模型精讲：一线三垂直模型“一线三垂直”模型，又称“K型图”，是平面几何中证明线段相等、角相等以及进行线段长度计算的重要工具。其核心在于利用三个直角的条件构造全等或相似三角形，从而实现等量关系的转化。（一）模型特征在一条直线上，有三个点分别形成三个直角，即这条直线为三个直角的公共边所在的直线。通常表现为：一条直线上有A、B、C三点，分别过A、B、C作这条直线的垂线，垂足为A、B、C（或其他对应点），得到三条垂线，且在这些垂线上分别有另外的点D、E、F，连接相应线段后形成的几何图形。简单来说，就是“一条直线，三个直角顶点，三条垂线”。（二）核心思路当“一线三垂直”模型出现时，我们通常可以通过证明两个直角三角形全等（AAS或ASA）来得到对应边相等或对应角相等。关键在于找到图中哪两个直角三角形的斜边或直角边存在已知的等量关系或可证的等量关系，并结合直角条件和由垂直产生的等角（例如同角的余角相等）来构建全等的条件。（三）典型例题例题1：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求证：DE=AD+BE。分析：本题中，直线MN是“一线”，点C在MN上，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，构成了标准的“一线三垂直”模型。我们的目标是证明DE=AD+BE，观察图形可知DE=DC+CE，因此只需证明AD=CE和DC=BE即可，这可通过证明△ADC和△CEB全等实现。证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°。∴∠ACD+∠CAD=90°。∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）。在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）。∴AD=CE，DC=EB（全等三角形的对应边相等）。∵DE=DC+CE，∴DE=EB+AD，即DE=AD+BE。（四）模型变式“一线三垂直”模型并非总是以标准的等腰直角三角形为背景，也不一定三个直角都是90°。当三个角相等且均为θ（不一定是90°），且在同一直线上时，可称为“一线三等角”模型，其核心思想与“一线三垂直”类似，常通过构造相似三角形来解决问题。这在后续学习和更复杂的中考题型中也较为常见，同学们需注意灵活迁移。二、模型精讲：手拉手模型“手拉手模型”是中考几何中另一个极为重要且高频出现的模型，通常涉及两个具有公共顶点的等腰三角形（或等边三角形、正方形等特殊图形，它们可视为特殊的等腰三角形），当其中一个三角形绕着公共顶点旋转时，会产生一系列全等或相似的三角形，以及一些固定的角度关系和线段关系。（一）模型特征两个等腰三角形（△ABC和△ADE），具有公共顶点A（即“共顶点”），且∠BAC=∠DAE（即“顶角相等”），连接BD、CE（即“拉着手”）。则可形成“手拉手”模型。最常见的背景是等边三角形和等腰直角三角形。（二）核心思路“手拉手模型”的核心结论通常包括：1.两条“拉手线”（如BD和CE）相等。2.两条“拉手线”所在直线的夹角等于两个等腰三角形的顶角（或其补角，取决于旋转方向和位置）。这些结论的证明主要依赖于证明由公共顶点引出的两组对应边构成的两个三角形全等（SAS）。即AB=AC，AD=AE（等腰三角形性质），∠BAD=∠CAE（因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD）。（三）典型例题例题2：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形。求证：AN=BM。分析：本题中，△ACM和△CBN是两个等边三角形，具有公共顶点C（虽然不是严格意义上的一个点完全包含另一个，但它们共顶点C），且∠ACM=∠BCN=60°，符合“手拉手模型”的特征。连接AN和BM，即构成“拉手线”。证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°。∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB。在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，CN=CB，∴△ACN≌△MCB（SAS）。∴AN=BM（全等三角形的对应边相等）。引申思考：除了AN=BM，AN与BM相交形成的锐角夹角是多少度呢？有兴趣的同学可以自行探索。（四）模型变式“手拉手模型”的变式主要体现在公共顶点的位置、等腰三角形的类型（如等腰直角三角形，此时拉手线垂直）、以及旋转的角度等方面。例如，将两个等腰直角三角形共直角顶点，旋转后拉手线不仅相等，还会互相垂直。理解了基本模型的证明思路，这些变式问题便能迎刃而解。三、习题精练为了帮助同学们更好地巩固上述几何模型，以下提供几道练习题，请大家尝试独立完成。习题1：如图，在平面直角坐标系中，A(0,a)，B(b,0)，且a、b满足√(a-4)+|b-4|=0，点C为线段AB上一点（不与A、B重合），CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E。求矩形ODCE的周长。（提示：考虑一线三垂直模型的思想，或利用坐标特征）习题2：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线BC上两点，且∠DAE=135°。求证：BD²+CE²=DE²。（提示：可尝试构造手拉手模型或旋转模型）习题3：已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE交于点F。（1）求证：BD=CE；（2）求证：BD⊥CE。四、总结与提升几何模型是解决中考几何难题的有力武器，但同学们在学习过程中，切忌死记硬背模型的结论，而应深刻理解模型的构成特征、核心思路以及推导过程。只有这样，才能在面对千变万化的题目时，准确识别模型，灵活运用模型思想，找到解题的突破口。在平时的练习中，要养成“读图、识图、析图”的习惯，尝试从复杂图形中分解出基本模型，或将非标准模型通过添加辅助线转化为标准模型。同时，要注重一题多解和多题归一，不断总结反思，提升自己的几何直观和逻辑推理能力。希望本专题的讲解能为同学们的中考几何复习提供有益的帮助。记住，数学的学习没有捷径，但正确的方法和持续的努力，一定能让你在几何的世界里游刃有余。后续我们还将探讨更多实用的几何模型，敬请期待。---参考答案与提示：习题1提示：由√(a-4)+|b-4|=0可得a=4，b=4，故A(0,4)，B(4,0)，直线AB的解析式为y=-x+4。设点C(m,n)，则n=-m+4。矩形ODCE的周长为2(OD+OE)=2(m+n)=2(m+(-m+4))=8。（本题虽未直接用一线三垂直全等，但坐标系中的垂直和线段关系是模型思想的体现）习题2提示：本题可将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF。则△ABD≌△ACF，BD=CF，AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF。由∠BAC=90°，∠DAE=135°，可得∠DAF=90°，∠FAE=45°=∠DAE，从而△ADE≌△AFE（SAS），得DE=FE。再证明∠ECF=90°，在Rt△